Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

Pessoal esse metodo  que Dirichlet "quase" mostrou(nao
se preocupe Dirichlet, eu entendo sua falta de
tempo..hehe), eu entendi , mas parece que existe outro
mais elegante , que usa teorema do isomorfismo entre
aneis e extensao de corpos conhecido como metodo de
Cauchy-Kronecker de achar inversos multiplicativos.Eu
estou tentando entender isso, tentando encaixar todas
essas ideias mais ainda nao vi a luz.Inclusive a
sugestao da questao abaixo tem tudo a ver com esse
metodo.Tentem fazer pela sugestao: 
 
                PROBLEMA
Racionalizar o denominador da fraçao                  
(1 - 2^1/3) / (1 + 2^1/3 + 4^1/3), isto é,escrever a
fraçao dada na forma "a + b*(2^1/3) + c*(4^1/3)" com
a, b,c pertencente aos racionais.
(Sugestão: Determinar o polinomio minimo de 2^1/3
sobre os Racionais e usar o algoritmo de divisao
euclidiana apropriadamente.)







--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: > on 24.09.03 15:02, Carlos Maçaranduba at
> soh_lamento@yahoo.com.br wrote:
> 
> > --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> > <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> escreveu: > Esse
> > assunto ja foi muito discutido ha um ano nessa
> >> lista e entao nao vou falar muito.
> >> Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal
> do
> >> denominador e fazer o numerador inteiro.Por
> exemplo
> >> pegue 1/(2^1/2+2^1/3).
> >> Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou
> >> (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2
> -2*2^1/3*x+2^2/3=2
> >> A partir dai voce tenta destruir as potencias uma
> a
> >> uma:isola de um lado e eleva loucamente!
> >  
> > sim ai eu acho uma equacao e como concluo???
> > O artigo de shine esta em latex e eu nao tenho
> > visualizador....
> >  
> >> Enfim e isso...
> >> PS:se voce estudar um pouco de polinomios no
> atrigo
> >> do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco
> >> disso.
> > 
> Oi, Macaranduba:
> 
> Como sempre, somos obrigados a aguentar as mensagens
> cripticas e pela metade
> do Dirichlet...
> 
> O artigo do Shine tem um exercicio que pede para:
> i) achar o polinomio minimal de a = 2^(1/2) +
> 3^(1/3);
> ii) racionalizar o denominador de 1/(2^(1/2) +
> 3^(1/3))
> 
> Esse exercicio ilustra bem a tecnica.
> 
> i) O polinomio minimal pedido eh obtido elevando-se
> ao cubo a equacao:
> x - 2^(1/2) = 3^(1/3),
> depois agrupando os termos com 2^(1/2) de um lado e
> elevando-se ao quadrado.
> No fim, voce chega em:
> x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0, ou seja, o
> polinomio minimal eh:
> p(x) = x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1
> 
> ii) a eh raiz desse polinomio. Logo:
> a^6 - 6a^4 - 6a^3 + 12a^2 - 36a + 1 = 0 ==>
> 
> 1/a = -a^5 + 6a^3 + 6a^2 - 12a + 36
> 
> Repare que o lado esquerdo eh justamente o que
> queremos racionalizar e o
> lado direito eh uma FUNCAO RACIONAL de a (de fato,
> um polinomio) COM
> DENOMINADOR RACIONAL (de fato, igual a 1).
> 
> Dah um pouco de trabalho pra calcular, mas resolve o
> problema...
> 
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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