Re: [obm-l] Metodo Geral de Racionalizaçao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.09.03 15:02, Carlos Maçaranduba at soh_lamento@yahoo.com.br wrote:

> --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> <peterdirichlet2002@yahoo.com.br> escreveu: > Esse
> assunto ja foi muito discutido ha um ano nessa
>> lista e entao nao vou falar muito.
>> Basicamente a ideia e obter o polinomio minimal do
>> denominador e fazer o numerador inteiro.Por exemplo
>> pegue 1/(2^1/2+2^1/3).
>> Se x e o denominador entao x-2^1/3=2^1/2 ou
>> (x-2^1/3)^2=2, e assim sendo x^2 -2*2^1/3*x+2^2/3=2
>> A partir dai voce tenta destruir as potencias uma a
>> uma:isola de um lado e eleva loucamente!
>  
> sim ai eu acho uma equacao e como concluo???
> O artigo de shine esta em latex e eu nao tenho
> visualizador....
>  
>> Enfim e isso...
>> PS:se voce estudar um pouco de polinomios no atrigo
>> do Shine na Semana Olimpica,vai entender um pouco
>> disso.
> 
Oi, Macaranduba:

Como sempre, somos obrigados a aguentar as mensagens cripticas e pela metade
do Dirichlet...

O artigo do Shine tem um exercicio que pede para:
i) achar o polinomio minimal de a = 2^(1/2) + 3^(1/3);
ii) racionalizar o denominador de 1/(2^(1/2) + 3^(1/3))

Esse exercicio ilustra bem a tecnica.

i) O polinomio minimal pedido eh obtido elevando-se ao cubo a equacao:
x - 2^(1/2) = 3^(1/3),
depois agrupando os termos com 2^(1/2) de um lado e elevando-se ao quadrado.
No fim, voce chega em:
x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0, ou seja, o polinomio minimal eh:
p(x) = x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1

ii) a eh raiz desse polinomio. Logo:
a^6 - 6a^4 - 6a^3 + 12a^2 - 36a + 1 = 0 ==>

1/a = -a^5 + 6a^3 + 6a^2 - 12a + 36

Repare que o lado esquerdo eh justamente o que queremos racionalizar e o
lado direito eh uma FUNCAO RACIONAL de a (de fato, um polinomio) COM
DENOMINADOR RACIONAL (de fato, igual a 1).

Dah um pouco de trabalho pra calcular, mas resolve o problema...


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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