Re: [obm-l] Sequência Equidistribuída

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Oi pessoal,


Desculpem a ausencia da lista. O problema e que estou com virose ha uns 6
dias, que esta acabando comigo. Depois eu mando o resultado sobre seq.
unif. distr. (Teo. de Weyl)

O problema que o Claudio falou eh muito bonito, achei ele num paper dos
anos 50:


Se voce tiver uma figura convexa plana, tal que uma reta passando pelo
baricentro seja dividida em uma razao 1:2, entao a figura eh um triangulo.


Se a razao for maior que 1:2, entao a figura nao existe. A dem. que eu
conheco eh elementar.


Abraco a todos e ate logo,


Salvador



On Fri, 19 Sep 2003, Cláudio (Prática) wrote:

> Oi, Salvador:
>
> Esse teorema é bem interessante.
>
> Acho que ele está relacionado ao seguinte fato:
> Na sequência x(n) = 2^n, a probabilidade do algarismo da esquerda da
> representação decimal de x(n) ser igual a k (1<=k<=9) é igual a
> log_10((k+1)/k). Ou seja, nessa sequência, pouco mais de 30% dos termos
> começam com o algarismo "1". Por outro lado, menos de 5% deles começam com
> "9". Essa é a tal lei de Benford.
>
> Claro que, como log_10(2) é irracional, a sequência y(n) = log_10(x(n)) mod
> 1 = n*log_10(2) mod 1 é equidistribuida.
>
> ****
>
> Será que x(n) = cos(n) é equidistribuída?
>
> Um abraço,
> Claudio.
>
> ----- Original Message -----
> From: "Salvador Addas Zanata" <sazanata@ime.usp.br>
> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, September 19, 2003 11:56 AM
> Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia
>
>
> >
> > Oi amigos,
> >
> > Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o
> > seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie
> > de relacoes, entao ela eh equidistribuida.
> >
> > Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que
> > quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1].
> >
> > Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve
> > satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito
> > mais forte que dizer que ela eh densa.
> >
> >
> > Um abraco,
> >
> > Salvador
> >
> >
> >
> >
> > On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
> >
> > > Oi, pessoal:
> > >
> > > Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer
> > > ponto no intervalo [-1,1].
> > >
> > > Pergunta:
> > > O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou
> > > seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar
> sequencias
> > > com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao?
> > >
> > > Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas:
> > > 1) Ela eh limitada;
> > > 2) Ela eh periodica de periodo irracional;
> > > 3) Ela eh continua;
> > > 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1].
> > >
> > > O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao
> > > suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem
> > > subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh
> uma
> > > condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh
> uma
> > > sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero.
> > >
> > > Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda.
> > >
> > > Um abraco,
> > > Claudio.
> > >
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
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