Re: [obm-l] Valores de aderencia

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur e Will:

> Eu acho que a sequencia tg(n) acaba acaindo num caso muito similar
> aaquele que abordei ontem. Eh periodica, com periodo minimo irracional
> PI; Eh continua em todo seu dominio, que eh o R exceto os pontos da
> forma k*PI+PI/2, k inteiro.  Os argumentos que dei ontem creio que
> provam que tg(n) eh densa em R.

Concordo.

> A tangente so nao eh definida em um
> subconjunto numeravel de R, ou seja, eh definida e continua em quase
> todo o R, pois conjuntos numeraveis tem medida zero. Se nos pontos da
> forma k*PI+PI/2 definissemos a tangente no que quer que fosse, teriamos
> uma funcao definida em todo o R, descontinua nestes pontos e, para nosos
> objetivos, nada se alteraria. Estah me parecendo que talvez seja
> importante que a funcao seja continua em quase todo o R. (isto eh, so eh
> descontinua - ou nao definida - em um subconjunto de medida nula)

Acho que nao. Veja abaixo.

> Aqui nao posso ir muito longe, nao domino a teoria de medidas. (Eh um assunto
> lindo, jah tentei avancar mas nunca acho tempo).
>
Tambem acho que nao precisa chegar a tanto.
 
> No exemplo que o Will deu, f(x) = cos(x), x irrac, f(x) =1 se x = rac.,
> f gera exatamente a sequencia cos(n), densa em [-1,1]. Esta funcao que
> ele deu soh nao eh continua em um conjunto numeravel, logo de medida
> zero.   
>

De fato, o exemplo do Will foi o oposto:
f(x) = cos(x), x racional
f(x) = 1, x irracional

f(x) gera a sequencia cos(n) e soh eh continua nos pontos da forma x =
2*k*Pi (onde cos(x) = 1) , k inteiro, ou seja eh descontinua em quase todo
ponto. Soh que f nao eh uma sobrejecao em [-1,1], afinal quem eh
f^(-1)(1/2), por exemplo.

Por outro lado, definindo:
f(x) = 0, para x = 2*m*Pi, m inteiro;
f(x) = 1, para x = n*Pi + Pi/2, n inteiro,
f(x) = cos(x) para x racional nao nulo;
f(x) = -cos(x) para x irracional diferente de 2*m*Pi e de (n*Pi + Pi/2), m,
n inteiros,

obtemos uma sobrejecao em [-1,1] que gera cos(n), eh descontinua em todo
ponto e cuja imagem inversa de cada ponto de [-1,1] eh um conjunto infinito.

 
> O fato de f ser limitada nao eh mesmo relevante. Se,  entretanto, f for
> continua e periodica em R, entao f eh automaticamente limitada e
> uniformemente continua em R.
> 
> Abracos
> Artur  
> 
> 
> 
>> Meus chutes...
>> 
>> (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso
>> (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é
>> racional
>> e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem.
>> (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto
> enumerável
>> denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário
> que,
>> dado
>> um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo
> [x,infinito]
>> no subconjunto da forma descrita acima.
>>
Ponto interessante. Pra mim faz sentido.
 
>> Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude
>> resistir :-)
>> Aguardo as pedradas
>> Will
>> 
>> ----- Original Message -----
>> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>> To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM
>> Subject: [obm-l] Valores de aderencia
>> 
>> 
>> Oi, pessoal:
>> 
>> Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para
> qualquer
>> ponto no intervalo [-1,1].
>> 
>> Pergunta:
>> O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca,
> ou
>> seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar
> sequencias
>> com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao?
>> 
>> Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas:
>> 1) Ela eh limitada;
>> 2) Ela eh periodica de periodo irracional;
>> 3) Ela eh continua;
>> 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1].
>> 
>> O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao
>> suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem
> tem
>> subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh
> uma
>> condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem
> eh
>> uma
>> sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero.
>> 
>> Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda.
>> 
>> Um abraco,
>> Claudio.
>> 
>> 

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