Eu acho que isto nao e tao facil:a coisa e achar todos os pares (a,b) com a^2=b! e voce so demonstrou que a nao e igual a b...
Felipe Pina <pinaf@rjnet.com.br> wrote:
> Oi, pessoal:
>
> Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado
> perfeito que nao use o postulado de Bertrand?
Sim, uma demonstração bem simples.
Sejam
f(n) := n^2
g(n) := n!
=> (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
(DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! =
n*(n!)
Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1
n >=4 => n! >= 24 => n*(n! - 2) >= 4*(24 - 2) = 4*22 = 88
Ou seja, para n >=4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n)
Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16
g(4) > f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais.
Resta apenas checar os pontos antes de 4...
g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3)
g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2)
Então f(n) e g(n) são diferentes para todo
n > 1.
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Felipe Pina
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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