Re: [obm-l] Algebra Linera

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -0300, nakamuraj <nakamuraj@bol.com.br> wrote:

> Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me 
> dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
>
> Gostaria de perguntar o seguinte:
>
> Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
>
> a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço? 
> ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão 
> n?.

   Nao, pode existir algum vetor em V que não é combinação linear dos 
vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0) 
,(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera R^3 pois não 
existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) = 
(0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da função abaixo :

    f : R^m (m-upla de coeficientes reais )-> R^n (espaco vetorial)

    f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1<=i<=m )        onde m é a 
cardinalidade de X (m<=n senao X nao seria LI)

    mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL 
dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).

    X é base <=> f é bijetora

>
> b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espaço 
> de dimensão n?

  Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X 
tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai 
continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes já geravam V. O 
único problema é que X não será mais uma base ( vc perde a injetividade 
acima - X passa a ser LD ).


> desde agradeço a colaboração de voces.
>
> joão Nakamura
>
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>
>
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[]s
-- 
Felipe Pina

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