[obm-l] Funcao F:P(A) -> P(A)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Olá Pessoal!
> 
> Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não estou
> conseguindo resolver.
> 
> Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função
> f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos de
> P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União
> X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
> 
> Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
> 
Oi, Duda:

Sabemos que, para todo i:
X_i estah contido em Uniao X_j
e   
Interseccao X_j estah contido em X_i.

Isso quer dizer que, para todo i:
F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i)
e   
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j).

E portanto:
F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j)    (1)
e
Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j)    (2)

*****

Por outro lado, para todo i:
F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j)
e
Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i)

Assim, para todo i:
F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i
e
F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j))

Logo:
F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j
e
Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j))

E portanto:
F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j)))
e
F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j)

E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos:
F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j)   (3)
e
Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j)   (4)

*****

Finalmente:
(1) e (4) ==> F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j)
(2) e (3) ==> F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j)


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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