Re: [obm-l] Probleminha

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

X finito <=> existe f : X -> X tq os �nicos conjuntos est�veis associados a
f s�o triviais.

(=>)
sem perda de generalidade, assuma que X = {1, 2, ..., n}
assuma que a nossa f �:
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, ..., f(n-1) = n, f(n) = 1
seja S n�o vazio contido em X
|f(S)| = |S| logo f(S) contido em S <=> f(S) = S
agora tome max|S| = k, ent�o f(k) pertence a S, mas f(k) = k+1 se k < n, mas
k � m�ximo, logo n pertence a S e ent�o 1 tamb�m pertence, e 2, e 3, ...., e
S = X.

(<=)
existe f : X -> X tq os �nicos conjuntos est�veis associados a f s�o
triviais

suponha X infinito, ent�o pra todo Y contido em X
f(Y) n�o est� contido em Y

primeiro temos que f � sobrejetora, pois se n�o for, tomamos ImX
propriamente contido em X
evidentemente f(ImX) contido em ImX e segue que f possui um cj. est�vel
associado n�o trivial.

suponha que f n�o seja injetora:
f(a) = f(b), para algum a != b.

considere W = {a, f(a), f�(a), f�(a), ....}
f(W) contido em W
se W for subconjunto pr�prio de X chegamos a uma contradi��o.
sen�o, para algum i, f^i(a) = b, pois b pertence a X, mas ent�o f^(i+1)(a) =
f(a) e temos que W � finito e por tanto propriamente contido em X.

conclus�o:
f � bijetora

se W = X, temos que X � infinito enumer�vel pois W � infinito enumer�vel.
agora seja n tq f(n) = a, se W = X, ent�o n = f^i(a) para algum i, mas ent�o
f^(i+1)(a) = a e W � finito, ou seja W est� propriamente contido em X e f(W)
= W, contradi��o.
logo X n�o pode ser infinito.

ser� que eu acertei?


----- Original Message ----- 
From: <ciceroth@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, September 12, 2003 5:56 PM
Subject: [obm-l] Probleminha


Ol� Amigos,

N�o estou conseguindo resolver esse problema. Seja f:X -> X uma fun��o.
Um subconjunto Y contido em X chama - se est�vel relativamente a f quando
f(Y) contido em Y. Prove que um conjunto X � finito se e so se existe uma
fun��o f: X -> X que s� admite os subconjuntos est�vesi vazio e X.
Este � o problema 17 da p�gina 45 do livro Curso de An�lise 1.
Obrigado
C�cero Thiago




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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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