Re: [obm-l] equaçao diofantina

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

"Ache todos os quadrados cujos sucessores sao ANTECESSORES de cubos".
 
x^2 + 1 = y^3 - 1 ==>
y^3 = x^2 + 2

x eh par ==>
x^2 == 0 (mod 4) ==>
y^3 = x^2 + 2 == 2 (mod 4) ==>
contradicao, pois o cubo de um impar eh impar e o de um par eh multiplo de 8
e, portanto, divisivel por 4  ==>
x eh impar.

Vamos fatorar o lado direito em Z[raiz(-2)]:
y^3 = (x + raiz(-2))*(x - raiz(-2))

Pondo r = raiz(-2), seja d = MDC(x + r,x - r) em Z[r].

Entao, d | (x + r) - (x - r) ==>
d | 2r ==>
d soh pode ser igual a 1, -1, 2, -2, r, -r, 2r ou -2r.

Mas tambem d | x + r.

d = 2 ou -2 ==> (x + r)/2 = x/2 + (1/2)*r nao pertence a Z[r] ==>
contradicao
d = r ou -r ==> (x + r)/r = 1 - (x/2)*r nao pertence a Z[r] ==>
contradicao
d = 2r ou -2r ==> (x + r)/(2r) = 1/2 - (x/4)*r nao pertence a Z[r] ==>
contradicao

Logo, soh pode ser d = 1 ou d = -1 ==>
x + r   e   x - r sao primos entre si ==>
como o produto deles eh um cubo perfeito e Z[r] eh um dominio de fatoracao
unica, cada um individualmente deve ser um cubo perfeito (em Z[r]) ==>
x + r = (a + br)^3, com a, b inteiros ==>
x + r = a^3 + 3a^2br - 6ab^2 - 2b^3r ==>
(igualando as partes real e imaginaria)
a^3 - 6ab^2 = x   e   3a^2b - 2b^3 = 1 ==>
a(a^2 - 6b^2) = x   e   b(3a^2 - 2b^2) = 1 ==>
b = 1 ou b = -1 ==>
b^2 = 1 ==>
a(a^2 - 6) = x   e   3a^2 - 2 = 1 ==>
a = 1 ou a = -1 ==>
x = -5 ou x = 5 ==>
y^3 = x^2 + 2 = 27 ==>
y = 3.

Logo, as unicas solucoes sao (5,3) e (-5,3), ou seja, o unico quadrado cujo
sucessor eh antecessor de um cubo eh o 25.

*****

Esse tipo de problema poderia tranquilamente ter sido mencionado na enquete
da beleza matematica, jah que eh uma aplicacao razoavelmente simples (mas
inusitada) dos numeros complexos e, na minha opiniao, caberia no curriculo
do 2o. grau.

A unica passagem menos obvia eh o uso do fato de que em Z[raiz(-2)] (ou
seja, o conjunto dos numeros da forma a + b*raiz(-2), com a, b inteiros,
munido das operacoes usuais de adicao e multiplicacao de nos. complexos),
tambem vale o "Teorema Fundamental da Aritmetica". Mas isso pode ser provado
de maneira analoga ao caso dos inteiros de Gauss (numeros da forma a +
b*raiz(-1), com a, b inteiros) - vide artigo do Guilherme Fujiwara na Eureka
14.

Alias, um bom exercicio eh tentar descobrir todos os primos de Z[raiz(-2)].
Isso nao eh muito obvio. Por exemplo, apesar de 3, 11 e 17 serem primos no
conjunto dos inteiros, em Z[raiz(-2)] eles podem ser fatorados:
3 = (1 + raiz(-2))*(1 - raiz(-2))
11 = (3 + raiz(-2))*(3 - raiz(-2))
17 = (3 + 2*raiz(-2))*(3 - 2*raiz(-2))
Por outro lado, 5, 7 e 13 tambem sao primos em Z[raiz(-2)].



Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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