Re: [obm-l] [u] R^n

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Acho que consegui...

Vamos lá:
Do conjunto {x0 = 0, x1, x2, ..., x[k]}
Temos que <x[i], x[j]> = 1/2 para todo i != j e ||x[i]|| = 1
suponha que temos u = (u1, u2, ..., u[k]) um vetor não nulo e
v = u1*x1 + u2*x2 + ... + u[k]*x[k] = 0
ou seja, estamos afirmando que os k vetores são LD.

se isso é verdade então
||v|| = 0 = <v, v> =
u1.u1*<x1, x1> + u1.u2*<x1, x2> + ... + u1.u[k]*<x1, x[k]> +
u2.u1*<x2, x1> + u2.u2*<x2, x2> + ... + u2.u[k]*<x2, x[k]> +
.... +
u[k].u1*<x[k], x1> + ... + u[k]u[k]*<x[k], x[k]> ..... (¢)

defina T = u1² + u2² + .... + u[k]² > 0
(u1 + u2 + ... + u[k])² = T + 2S >= 0
onde S = u1(u2 + .... + u[k]) + u2(u3 + ... + u[k]) + .... + u[k-1]u[k]
se não errei nas contas acima a soma (¢) pode ser expressa como
||v|| = 0 = T + S

logo:
2T + 2S = 0
T + 2S >= 0
=> (2T + 2S) - (T + 2S) = T <= 0, absurdo!
os k vetores são LI, ou seja k <= n e o conjunto deve ter no máximo n + 1
vetores.
parece que o Cláudio mostrou uma construção com exatamente n + 1 vetores o
que mostra que não dá pra melhorar o limitante.

[ ]'s

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================