Re: [obm-l] [u] R^n

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 30.08.03 03:15, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Olá!
> 
> Qual o número máximo de pontos no R^n tais que dois quaisquer distam 1?
> 
> Duda.
> 
> PS. Pontos do R^n são vetores (x_1, x_2, ..., x_n) onde cada x_i é real, e a
> distância entre dois pontos x = (x_1, x_2, ..., x_n) e y = (y_1, y_2, ...,
> y_n) é dado por d(x,y) = SOMA{ (x_i - y_i)^2 }^(1/2).
> 
Oi, Duda:

Eu tenho 3 conjecturas sobre esse problema:

1) A resposta eh n+1;

***

2) Um conjunto de n+1 pontos com essa propriedade pode ser gerado da
seguinte forma:
P(0) = ( 0 , 0 , 0 , ... , 0 )  (n coordenadas iguais a zero)
P(1) = ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 )
P(2) = ( 1/2 , raiz(3)/2 , 0 , ... , 0 )

Para 3 <= k <= n, P(k) = (x(1),x(2),x(3),...,x(n)) eh definido da seguinte
maneira:

1 <= i <= k-2 ==> x(i) = i-esima coordenada de P(k-1);

x(k-1) = media aritmetica das (k-1)-esimas coordenadas de P(1), ..., P(k-1);

x(k) = raiz(1 - x(1)^2 - x(2)^2 - ... - x(k-1)^2);

i > k ==> x(i) = 0.

Assim, teremos por exemplo:
P(3) = ( 1/2 , raiz(3)/6 , raiz(6)/3 , 0 , ... , 0 );

Eh facil ver que, para 0 <= i < j <= 3, vale dist(P(i),P(j)) = 1.

***

3) (1) e (2) podem ser demonstrados por inducao.


Preciso pensar mais um pouco.


Um abraco,
Claudio.
  
 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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