RE: [obm-l] Geometria Espacial

[=?utf-8?Q?Leandro_Lacorte_Rec=C3=B4va?= <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Teorema de Gauss-Bonnet e um teorema classico da geometria diferencial e abaixo tem uma explicacao dele. Voce pode ve-lo nos livros da Keti Tenenblat (Introducao a Geometria Diferencial) e no do Manfredo. 

O Manfredo apresenta a prova desse teorema para o caso de variedades riemanianas no seu livro Differential Forms publicado pela Springer. E um livrinho fino, mas muito bem escrito e bonito. Tem na www.amazon.com . 

O teorema  e apresentado em versoes locais e globais. De uma olhada nesses livros e no enunciado abaixo. 

A prova do teorema pode ser vista tambem em http://hilbert.dartmouth.edu/~leibon/gbt/


Regards

Leandro. 

Gauss-Bonnet theorem
>From Wikipedia, the free encyclopedia. 

The Gauss-Bonnet theorem in differential geometry is an important statement about surfaces which connects their geometry (in the sense of curvature) to their topology (in the sense of the Euler characteristic). 

Suppose M is a compact two-dimensional orientable Riemannian manifold with boundary ∂M. Denote by K the Gaussian curvature at points of M, and by kg the geodesic curvature at points of ∂M. Then 

∫M K dA + ∫∂M kg ds = 2π χ(M) 
where χ(M) is the Euler characteristic of M. 
The theorem applies in particular if the manifold does not have a boundary, in which case the integral ∫∂M kg ds can be omitted. 

If one bends and deforms the manifold M, its Euler characteristic will not change, while the curvatures at given points will. The theorem requires, somewhat surprisingly, that the total integral of all curvatures will remain the same.



-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: Thursday, August 28, 2003 10:17 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Geometria Espacial

Quale o teorema de Gauss-Bonet?
 --- "Nicolau C. Saldanha"
<nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> escreveu: > On
Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300,
> Frederico Reis Marques de Brito wrote:
> > OLá pessoal.
> > 
> > Confesso que nunca tive interesse por
> geometria espacial. Mas outro dia 
> > parei a perguntar-me se, similarmente ao que
> ocorre na geom. plana, há 
> > alguma fórmula para o angulo interno formado
> pelas faces de um poliedro 
> > regular e, neste caso, uma fonte para a
> demonstracao.
> 
> Estudar os ângulos entre faces de um poliedro é
> algo bem mais sutil
> de que os ângulos entre lados de um polígono.
> Você pode calcular
> os ângulos entre as faces dos poliedros
> regulares mas não são múltiplos
> racionais de pi, são arcos cujo seno ou cosseno
> é um número algébrico
> de grau baixo.
> 
> Um resultado fácil é o seguinte. Considere um
> poliedro convexo.
> A partir de cada vértice e para cada face
> adjacente ao vértice,
> trace uma semireta exterior ao sólido e
> perpendicular à face.
> Temos assim um ângulo sólido em cada vértice:
> chamemos este
> ângulo sólido de externo. A soma dos ângulos
> sólidos externos é 4pi.
> 
> Uma versão deste teorema que esteve no banco da
> IMO1981 (mas não na prova)
> é o seguinte problema. Em uma região do espaço
> há n planetas esféricos
> de mesmo raio. Prove que a área total em todos
> os planetas a partir
> da qual não se vê nenhum dos outros planetas no
> céu
> é igual à área de um dos planetas.
> 
> Isto é uma versão discreta do teorema de
> Gauss-Bonnet.
> 
> []s, N.
>  
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