Re: [obm-l] Geometria Espacial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote:
> OLá pessoal.
> 
> Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia 
> parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, há 
> alguma fórmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro 
> regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao.

Estudar os ângulos entre faces de um poliedro é algo bem mais sutil
de que os ângulos entre lados de um polígono. Você pode calcular
os ângulos entre as faces dos poliedros regulares mas não são múltiplos
racionais de pi, são arcos cujo seno ou cosseno é um número algébrico
de grau baixo.

Um resultado fácil é o seguinte. Considere um poliedro convexo.
A partir de cada vértice e para cada face adjacente ao vértice,
trace uma semireta exterior ao sólido e perpendicular à face.
Temos assim um ângulo sólido em cada vértice: chamemos este
ângulo sólido de externo. A soma dos ângulos sólidos externos é 4pi.

Uma versão deste teorema que esteve no banco da IMO1981 (mas não na prova)
é o seguinte problema. Em uma região do espaço há n planetas esféricos
de mesmo raio. Prove que a área total em todos os planetas a partir
da qual não se vê nenhum dos outros planetas no céu
é igual à área de um dos planetas.

Isto é uma versão discreta do teorema de Gauss-Bonnet.

[]s, N.
 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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