Re: [obm-l] teorema de dandelin

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Aug 25, 2003 at 03:14:14PM +0000, leonardo mattos wrote:
> Ola pessoal,
>      Ha algum tempo quando vcs estavam discutindo sobre os mais belos 
> teoremas da matematica algumas pessoas citaram o teorema de dandelin. Oq 
> seria este teorema? Sera q alguem poderia explicar c possivel do q c trata?

Acho que é o teorema belga, aquele que leva o Wagner a fazer os desenhos
no quadro de que o Morgado falou. Se é mesmo isso, o assunto foi tratado
meio tangencialmente nesta lista.

O objetivo é provar que a interseção de um plano com um cone é uma
das três curvas abaixo:
* sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano (os focos)
  e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P
  tais que a soma das distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c;
* sejam dados dois pontos fixos F1 e F2 no plano
  e um número real positivo 2c: a curva é o conjunto dos pontos P
  tais que o módulo da diferença entre as distâncias PF1 e PF2 é igual a 2c;
* sejam dado um ponto fixo F (o foco) e uma reta r no plano:
  a curva é o conjunto dos pontos P tais que as distâncias PF e Pr
  são iguais.

O primeiro tipo de curva se chama elipse, o segundo hipérbole e
o terceiro parábola. O círculo é um caso especial de elipse (F1 = F2)
e a parábola é um caso limite de elipse ou de hipérbole.
Estas curvas todas são chamadas de cônicas.

Imagine um cone circular reto e um plano cortando o cone em uma curva
simples fechada com toda a cara de ser uma elipse: vamos provar que
esta curva é mesmo uma elipse. Não é difícil ver que há duas esferas
tangentes ao plano e ao cone: cada uma destas esferas tangencia o cone
em um círculo inteiro que está claramente contido em um plano perpendicular
ao eixo do cone. Chame os círculos de C1 e C2 e os pontos de tangência
entre as esferas e o plano de F1 e F2. Seja P um ponto da interseção.
A distância PF1 é igual à distância PC1 já que ambos segmentos tangenciam
a esfera. Analogamente PF2 = PC2. Mas PC1 + PC2 é a distância entre os
dois círculos, que é claramente constante.

Os outros casos são análogos. Claro, com uma figura fica bem melhor.

Toda a graça parece ser fazer isso de forma que Euclides entendesse,
sem usar geometria analítica nenhuma. Usando geometria analítica,
e sabendo que as curvas acima são exatamente as de grau 2,
temos também a demonstração que eu dei em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200308/msg00263.html
e que repito abaixo:

> Por mim a demonstração "certa" consiste em observar que o cone tem equação
> de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau.
> Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos,
> também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z).
> Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são.

Wagner e eu já debatemos os méritos relativos das duas demonstrações.
Acho que nossos pontos de vista ficaram claros nas mensagens que se seguem
á minha, já citada acima.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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