Re: [obm-l] volume!!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 19.08.03 15:46, niski at fabio@niski.com wrote:

> pessoal..por favor me ajudem nessa daqui:
> 
> Calcule o volume da regiao comum a dois cilindros, ambos de raio r, e
> cujos eixos sao ortogonais
> 
> resp: 16r3/3
> 
> obs: n vale usar integrais duplas ou triplas.
> 
Oi, Niski:

Suponha que os eixos dos cilindros sejam as retas:
x = y   e   x = -y.

Considere as secoes da regiao desejada paralelas ao plano z = 0 (ou seja, o
plano-xy).

Todas elas serao quadrados (voce consegue ver isso?)

A ideia agora eh determinar o lado da secao em funcao da coordenada z =
L(z).

O volume desejado serah igual a Integral(-r a +r) L(z)^2*dz (espero que
integrais simples possam ser usadas).

Considere o plano x = 0 (plano yz), o qual faz um angulo de 45 graus com os
eixos dos cilindros e produz, em cada um, uma secao eliptica, cuja equacao
eh: 
y^2/(2r^2) + z^2/r^2 = 1 ==>
y^2 = 2*(r^2 - z^2) ==>
y = +ou- raiz(2)*raiz(r^2-z^2) ==>
na coordenada z (-r <= z <= r), a largura dessa secao serah igual a:
2*raiz(2)*raiz(r^2 - z^2).

Mas essa largura eh justamente igual a diagonal da secao quadrada, ou seja:
L(z) = 2*raiz(r^2 - z^2) ==>
L(z)^2 = 4*(r^2 - z^2) ==>
Integral(-r a r) L(z)^2*dz = 4*Integral(-r a r) (r^2 - z^2)*dz =
= 4*r^3 - 4r^3/3 - 4(-r)^3 + 4(-r)^3/3 = 16r^3/3.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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