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De
acordo com a sugestao do Claudio, vou apresentar aqui a prova de um dos
teoremas que acho muito bonito, qual seja, a desigualdade das medias aritmetica
e geometrica baseada na propriedade da funcao exponencial segundo a qual e^x
>= 1+x para todo real x, ocorrendo
igualdade se, e somente se, x=0. Esta prova, que nao me parece ser muito
difundida, eh, na minha opiniao, muito
elegante e exemplifica como ramos aparentemente estanques da matematica sao, na realidade, correlacionados. Sejam
x_1,....x_n numeros positivos e sejam a e g as suas medias aritmetica e
geometrica, respectivamente. Para cada i=1,....n, defiinamos r_i como o desvio
relativo de x_i com relacao a a , ou seja, r_i = (x_i-a)/a = x_i/a -1. Eh
imediato que a soma dos x_i eh nula. Pela propriedade da funcao exponencial, temos, para cada
i=1,...n, que e^r_i >= 1+ r_i, ocorrendo igualdade se, e somente se, r_i = 0.
Da definicao de r_i, segue-se que e^r_i >= x_i/a (1), havendo igualdade se, e somente se, x_i = a. Como
ambos os membros das n desigualdades englobadas em (1) sao positivos
(decorrencia de outra propriedade da funcao exponencial), podemos
multiplica-las membro a membro, obtendo Produto (i=1,n) e^r_i = e^[Soma(i=1,n) r_i] = e^0 = 1 >= Produto
(i=1, n) (x_i/a) = [Produto (i=1,n) x_i]/a^n = g^n/a^n = (g/a)^n. Temos,
portanto, que 1 >= (g/a)^n, ocorrendo igualdade se, e somente se, x_i= a
para cada i=1, ...n. Concluimos, assim que, a>=g, com igualdade se, e
somente se, todos os x_i forem iguais. Um
abraco. Artur |