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Re: [obm-l] ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
Como sempre a minha lista nao e muito
continua...Mas eu gosto mais de geometria,entao
prefiro falar dos teoremas de
Pascal,Desargues,Pappus,Brianchon, e o circulo
dos nove pontos e o ponto de Feuerbach.
Alias este do pulo do gato e outra versao do
Teorema de Kronecker.
--- Cláudio_(Prática)
<claudio@praticacorretora.com.br> escreveu: >
HelpCaros colegas:
>
> Aqui vai a minha lista. Acredito que se tivesse
> encontrado os resultados lá mencionados durante
> o meu 2o. grau, talvez tivesse decidido cursar
> matemática e não engenharia, como acabei
> fazendo.
>
> 1. O princípio das Casas de Pombos,
> não pelo princípio em si, que é altamente
> intuitivo, mas pelas consequências
> surpreendentes:
> i) Em todo grupo de 6 pessoas, existem 3 que se
> conhecem mutuamente ou 3 que se desconhecem
> mutuamente - este é o ponto de partida pra
> teoria de Ramsey, que ainda tem inúmeros
> problemas em aberto;
> ii) Se um paciente tem que tomar 48 pílulas em
> 30 dias, sendo que ele toma pelo menos uma
> pílula por dia, então existe uma sequência de
> dias consecutivos nos quais ele toma exatamente
> 11 pílulas - este problema não-trivial foi o
> que chamou a minha atenção para o PCP;
> iii) Toda sequência de números reais possui uma
> subsequência monótona - uma bela aplicação à
> Análise;
> iv) Se a é irracional, então o conjunto A = {m
> + n*a; m, n inteiros} é denso em R - resultado
> interessante por si só, mas que é o "pulo do
> gato" pra se provar o inusitado
> v) Dada uma sequência qualquer de algarismos,
> existe uma potência de 2 cuja representação
> decimal começa com aquela sequência.
>
> 2. O teorema de Bezout: "Se a e b são dois
> inteiros quaisquer, então mdc(a,b) é o menor
> inteiro positivo que pode ser expresso na forma
> a*x + b*y, com x e y inteiros",
> por ser uma das primeiras aplicações
> não-triviais do axioma da Boa Ordenação e ser
> usado pra provar que:
> i) Se a e b são inteiros primos entre si e se a
> divide b*c (c inteiro), então a divide c;
> ii) Se p é primo, então cada inteiro primo com
> p tem um inverso (mod p);
> Estes dois resultados, por sua vez, são usados
> pra provar:
> iii) O pequeno teorema de Fermat;
> iv) O teorema de Wilson;
> Os quais, juntamente com o PCP, provam o
> sensacional:
>
> 3. Todo primo da forma 4k+1 é soma de dois
> quadrados.
> Sem comentários. Se isso não é bonito, então o
> que é?
>
> 4. N é perfeito par ==> N = 2^(p-1)*(2^p -
> 1), onde 2^p - 1 é primo,
> pela sacada simples mas brilhante de Euler.
> Como é que os gregos não viram essa?
>
> 5. O caso n = 4 do Último Teorema de Fermat,
> por ser um belo exemplo de aplicação da
> "descida infinita" (uma variante do axioma da
> Boa Ordenação) e por pressupor um conhecimento
> da bela teoria sobre os ternos Pitagóricos.
>
> 6. Postulado de Bertrand: "Se x > 1, então
> existe (pelo menos) um primo entre x e 2x",
> por ser inusitado, e ter uma demonstraçao que,
> apesar de meio longa, é muito engenhosa e
> totalmente elementar.
>
> 7. Teoremas sobre cardinalidade de conjuntos
> infinitos, tais como:
> card(N) = card(Q),
> card(N) < card(R),
> card(R) = card(R^2),
> card(X) < card(Partes(X)), onde X é um conjunto
> qualquer,
> card(Partes(N)) = card(R),
> por serem surpreendentes para quem os vê pela
> primeira vez e pela engenhosidade das
> demonstrações, especialmente o método da
> diagonal.
>
> 8. A existência e unicidade dos 5 poliedros
> regulares,
> não só pela beleza mas pela importância
> histórica, pois foi o teorema que Euclides
> escolheu pra encerrar os seus Elementos.
>
> 9. A desigualdade do rearranjo,
> pela demonstração essencialmente combinatória,
> por não se aplicar apenas a números positivos,
> e por implicar numa série de outras
> desigualdades, inclusive a das médias
> geométrica e aritmética (apesar de existirem
> demonstrações mais simples desta última).
>
> 10. A desigualdade isoperimétrica,
> pela beleza do encadeamento lógico - passo a
> passo - da demonstração.
>
> *****
>
> Pro Frederico: Sobre o TNP, eu também acho a
> relação entre primos e logaritmos altamente
> surpreendente, mas os pré-requisitos para que
> um aluno normal de 2o. grau entenda quão
> especiais são os logaritmos naturais e o número
> "e" talvez sejam pesados demais. Assim, eu
> achei melhor não incluir nem mesmo as
> desigualdades de Chebichev envolvendo n/ln(n).
>
> Por outro lado, um que quase incluí foi o fato
> de que a série dos recíprocos dos primos é
> divergente.
>
> Também fiquei muito tentado a incluir os
> interessantíssimos teoremas de Desargues e
> Pappus da geometria projetiva, mas no fundo eu
> gosto mais de álgebra e teoria dos números...
>
>
> Um abraço,
> Claudio.
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