Re: [obm-l] Re: [obm-l] DÚVIDA... ajudarr

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 14.08.03 19:26, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
hpsbranco@superig.com.br wrote:

> Não tenho muita certeza das minha resoluções, mas já que ninguém respondeu,
> vai aí alguma tentativa...
> 
>> O número natural N = 180p, onde p é um número primo, possui 27 divisores
>> naturais. O valor de p é:
>> a) 2 b) 3 c)5 d) 7 e) 11
> 
> Creio que aqui seja N = 180^p, uma vez que 180p é divisível por {2 2 3 3 5
> p}.
> De qualquer forma, não sei resolver essa questão, mas creio que seja fácil
> usar congruências (as quais não domino). Eu mesmo gostaria de uma ajuda
> nesse problema.
> 
Oi, Henrique:

Na verdade eh multiplicacao mesmo: 180p = 2^2 * 3^2 * 5^1 * p^1

Se p > 5, entap num.div = (2+1)*(2+1)*(1+1)*(1+1) = 36 ==> p eh 2, 3 ou 5.
(a formula pro numero de divisores positivos de um inteiro pode ser achada
por combinatoria)

Se p = 2 ou 3, entao num.div = (3+1)*(2+1)*(1+1) = 24 ==> p = 5
Checando: num.div = (2+1)*(2+1)*(2+1) = 27 ==> OK

Alternativa (c).

 
>> 2) Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o triplo de um dos catetos.
>> Considerando   o ângulo oposto ao menor lado, podemos afirmar que tg   +
> sec
>> é igual a  ?
>

Chame os lados de: 3a, a, b  (3a = hipotenusa)

Pitagoras ==> 9a^2 = a^2 + b^2 ==> b^2 = 8a^2 ==> b = 2*raiz(2)*a > a

Logo, o angulo de medida x eh oposto ao lado de medida a ==>

tg(x) + sec(x) = a/(2*raiz(2)*a) + 3a/(2*raiz(2)*a) = raiz(2)
 
> Essa é meio difícil de explicar... Tente fazer o desenho de um triângulo
> retângulo, use trigonometria e o fato de que sec(x) = 1/cos(x).
> Assim, sec(x) + tan(x) = 4B/A.
> 
>> 4) Um Aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros
>> diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros
>> diferentes de Português.  Querendo manter juntos aqueles da mesma
>> disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua
>> estante, de diversos modos.  A quantidade de modos com que poderá fazê-lo
> é
>> 
>> (A)48
>> (B 72
>> (C192
>> (D864
>> (E)1728
> 
> Ordenando cada grupo, temos para os de Matemática 24 = 4*3*2 maneiras de
> dispô-los entre si, para os de Física 6 = 3*2 maneiras e para os de
> Português, 2 maneiras.
> Agora, consideremos cada conjunto de livros como um único, facilita.
> Portanto, se tivermos 3 grupos diferentes, podemos ordená-los de 3*2 = 6
> formas.
> Portanto, o total de modos que esse estudante pode organizar os livros na
> estante é 24*6*2*6 = 1728, letra E.
> 
> Abraços,
> Henrique.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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