Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Olá!

É minha vez de enviar meus problemas/teoremas bonitos...

1) O teorema, devido a Euler, que diz que quando s > 1 temos ZETA(s) =
SOMA{ 1/n^s, n=1...infinito } = PRODUTORIO { (1 - p^(-s) ), p primo }.

2) A surpreendente constatação de que um problema aparentemente não tão
complicado como o último teorema de Fermat tenha uma solução tão extensa e
complicada.

3) A demonstração (enviada para a lista) de que um número irracional elevado
a um número irracional pode resultar um número racional. A saber, se p =
raiz(2) ^ raiz(2) é racional, está acabado; se p não for racional, é
irracional, e q = p ^ raiz(2) = 2 satisfaz o problema.

4) O método (não lembro de quem é, talvez Cauchy) para aproximar a soma de
séries SOMA{ s_n } onde s_1 > s_2 > s_3 > ... > 0, utilizando-se uma
integral.

5) A constatação maravilhosa de que certas constantes (como Pi e e) são
constantes em toda a matemática, isto é, aparecem em diversas áreas
(aparentemente desconexas) como geometria, análise, teoria dos números,
probabilidade, etc. dando a entender que toda a matemática tem um centro
firme (de onde saem os resultados) e uma arquitetura já planejada por alguém
bem mais inteligente que nós...

6) O método do escalonamento de matrizes descoberto por Gauss. Brilhante por
ser tão simples e ter levado tanto tempo para ser descoberto. Segundo o
Gilbert Strang: "Ele é tão simples que mesmo qualquer um de nós poderíamos
tê-lo descoberto...".

7) O fato de que podemos definir num espaço vetorial uma função com
propriedades simples (=o produto interno) e dele derivarmos muitos e muitos
resultados interessantes. (isto realmente me surpreendeu, quando comecei a
estudar álgebra linear, pareceu mágica a existência e as conseqüências do
produto interno)

8) A menos de isomorfismo, o conjunto dos Reais é o único corpo ordenado
completo.

9) O primeiro teorema da inconsistência de Gödel.

E para finalizar:

10) O princípio da indução finita.

Abração,
Duda.

From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Caros colegas da lista:
>
> Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre "beleza
> matematica".
>
> O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo
> como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e
cujas
> solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
> engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o
enunciado.
> No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
> (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
> utilizado.
>
> A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel
a
> um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o
Porisma
> de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos
> do Porisma poderiam ser incluidos).
>
> Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
> grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau.
>
> Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem.
Acho
> que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes
pode
> ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
> encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O "Proofs
> from the Book" tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
>
> Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar
uma
> compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
>
> Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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