Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Carissimo Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Este principio e devido a Erdos, que o usou pela primeira vez. No livro :

Proofs from the Book
Martin Aigner e Gunter Ziegler
Springer Verlag

os autores tambem o creditam a Alfred Renyi, mas eu nao conheco nenhuma 
artigo deste Matematico e, muito menos, claramente, alguma aplicacao 
especifica deste principio por ele. Evidentemente que o a regra e uma forma 
original de pensar, usando probabilidades num dominio onde dificilmente 
imaginariamos que ela pudesse ser util. Deve-se destacar que serve tao 
somente para provas de existencia.

O livro "Proofs from the book" mostra diversas aplicacoes deste metodo 
probabilistico e, em particular, aos numeros de Ramsey ( Alias, o Teorema de 
Ramsey e um dos resultados elementares que eu citaria, mas e um assunto 
nunca ou quase nunca abordado no Nivel Medio - injustificadamente, ao meu 
ver ).

Exemplo ( de Proofs from the book )

Seja Y um conjunto. Toda funcao f:Y -> {a,b}  e chamada uma "pintura" dos 
pontos de Y. Se y esta em Y e f(y) =a dizemos que o ponto "y" foi pintado 
com a cor "a". Claramente que existem pinturas possiveis para Y.

Considere agora um conjunto F cujos elementos sao subconjuntos de Y, isto e, 
F e uma familia de subconjunto de Y. Nos dizemos que F e "BICOLORIZAVEL" ou 
"2-COLORIZAVEL" se dentre todas as pinturas de Y com duas cores ( as funcoes 
f mencionadas acima ) EXISTE UMA tal que em todo subconjunto de Y 
pertencente a F poderemos encontrar dois elementos pintados com cores 
diferentes.

1) Claramente que se F e 2-colorizavel entao todos os subconjunto de F sao 
2-colorizavel : basta usar a mesma funcao f:Y->{a,b} que demonstrou a 
carater 2-colorizavel de F.

Agora, seria toda familia de subconjuntos de Y 2-colorizavel ? Claramente 
que Nao !

2) Com efeito, seja Y um conjunto com 2d+1 elementos. Toda pintura de f, 
f:Y->{a,b}, pode ser vista como uma distribuicao de 2 elementos ( "a" e "b" 
) nos 2d+1 "lugares" que sao os pontos de Y e, portanto, pelo principio da 
casa dos pombos, haverao ao menos "d" pontos de Y com a mesma cor ! Assim, 
se tomarmos F como o CONJUNTO DE TODOS OS SUBCONJUNTOS de Y com d elementos, 
QUALQUER QUE SEJA  a pintura f:Y -> {a,b} havera um subconjunto de Y com d 
elementos
( elemento de F ) com todos os seus pontos pintados da mesma cor ! Logo, F 
nao sera 2-colorizavel.

Os fatos 1) e 2) sao extremos. Eles tornam claro que para todo "d" existe um 
extremante ... Isto e, dado d, qualquer subconjunto de Y com d elementos e 
2-colorizavel, evidentemente. Todos os subconjutos de Y com d elementos e 
uma familia que nao e 2-colorizavel, conforme vimos acma. Entao, para cada 
d, tem sentido perguntarmos : qual e O MENOR NUMERO DE SUBCONJUNTOS DE Y COM 
d ELEMENTOS que nao e 2-colorizavel ?

TEOREMA ( FENOMENO ) : Toda familia F de subconjuntos de Y com no maximo 
2^(d-1) elementos e 2-colorizavel

Assim, o numero que estamos procurando, que por homenagem a Erdos chamaremos 
de E(d), e tal que E(d) > 2^(d-1)

DEMONSTRACAO ( EXPLICACAO ) : IMAGINE que todas as pinturas f:Y->{a,b} 
possiveis sao eventos igualmente provaveis ... Assim, a toda pintura que 
ocorrer, estaremos concomitantemente colorindo todos os elementos de cada 
subconjunto de F, evidentemente. Vamos agora escolher um elemento de F, isto 
e, um subconjunto de Y pertencente a F. Qual sera a probabilidade de os os 
seus elementos estejam pintados com uma unica cor ?

Claramente que P = (1/2)^(d-1),  pois existem apenas duas maneiras dos 
elementos do subconjunto escolhido estarem pintados com uma mesma cor. 
Aplicando este mesmo raciocinio a todos os elementos da familia e notando 
que o evento de escolher um conjuntos 1-colorizavel nao e mutuamente 
exclusivo com as outras ocorrencias e, portanto, a probabilidade e inferior 
a mera soma das probabilidades, termos :

E(d)*((1/2)^(d-1)) =< 1  => E(d) =< 2^(d-1)

Logo, pelo principio de Erdos, existira uma pintura de Y sem sub-conjunto de 
F  pintado com uma cor somente, que e o que queriamos demonstrar !

Essa e uma aplicacao trivial do Principio de Erdos. No livro "Proof from the 
Book" existe aplicacoes mais interessantes. Alias, este livro e altamente 
acessivel a qualquer estudante serio e dedicado do nivel medio, pedindo 
pouquissimos pre-requisitos "mais avancados" , todos de facil assimilacao e 
facilmente encontraveis.

E digno de nota que este principio e muito criticado por muitas pessoas, que 
nao aceitam um resultado derivado da sua utilizacao. Ele e o "Axioma da 
Escolha" do momento. Falta surgir o Godel do momento...

Digo isso porque em face das inumeras criticas que o axioma da escolha 
sofria, Godel mostrou que se a Teoria do conjuntos COM O AXIOMA DA ESCOLHA e 
inconsistente e contraditoria, ENTAO,  a teoria dos conjuntos SEM O AXIOMA 
DA ESCOLHA, e igualmente inconsistente e contraditoria, isto e, o Axioma da 
Escolha, em que pese as inumeras consequencias pouco verossimeis que COM ELE 
podemos deduzir, se muito, e apenas um catalisador destas 
inverossimilhancas, nao a CAUSA UNICA delas ... E que cada um engula isso 
como puder !

Na Matematica, como em tudo, a Normalidade, quando nao e a expressao viva da 
mediocridade, e apenas uma face da patologia ... E sempre ha uma multidao de 
sacerdotes dispostos a defender os credos antigos e acusar os raciocinios 
"estranhos" e "diferentes" com as formas modernas da inquisicao, mesmo que a 
historia esteja diuturnamente demonstrando que o progresso jamais promana 
daquilo que e comum e batido, daquelas implicacoes logicas "limpinhas" e 
"bonitinhas".

Uma curva gaussiana das "normalidades" humanas, em qualquer ambiente, seja 
academico, social, desportivo e mesmo profissional, e sofrivel ... A pior 
desgraca que pode suceder a um ser humano, e ele ser normal !

Perdao por este OFF-DESABAFO final.

Um Abraco Cordial a Todos !
Paulo Santa Rita
1,2107,100803


>From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
>Date: Sun, 10 Aug 2003 19:00:05 -0300
>
>Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha?
>
>Paulo Santa Rita wrote:
>
>>Ola Claudio !
>>
>>Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares 
>>e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns 
>>resultados.
>>
>>PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli )
>>
>>1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P  -  B^P]/(P+1)
>>onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli.
>>
>>Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros 
>>naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o 
>>seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever 
>>sobre este tema.
>>
>>SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos )
>>
>>"Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 
>>de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com 
>>aquela propriedade"
>>
>>Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e 
>>poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o 
>>pensamente matematico.
>>
>>TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade 
>>Eduardo Wagner )
>>
>>Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos 
>>de cada lado pelo cosseno do angulo oposto"
>>
>>p >= a*cosA + b*cosB + c*cosC
>>
>>Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades 
>>complicadas da Geometria Elemntar.
>>
>>Um Abraco
>>Paulo Santa Rita
>>7,1425,090803
>>
>>EM TEMPO. Sobre a beleza matematica :
>>
>>A Divina Proporcao
>>Um Ensaio sobre a beleza na Matematica
>>H. E. Huntley
>>Editora UnB
>>
>>O autor mostra como o numero "fi", ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas 
>>mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um 
>>toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo 
>>menos com um resultado :
>>
>>"A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + 
>>An-1 e a sequencia :
>>1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ..."
>>
>>
>>>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>CC: Claudio Buffara <claudio@praticacorretora.com.br>
>>>Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
>>>Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300
>>>
>>>Caros colegas da lista:
>>>
>>>Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre "beleza
>>>matematica".
>>>
>>>O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo 
>>>algo
>>>como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e 
>>>cujas
>>>solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
>>>engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o 
>>>enunciado.
>>>No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
>>>(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
>>>utilizado.
>>>
>>>A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel 
>>>a
>>>um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o 
>>>Porisma
>>>de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para 
>>>triangulos
>>>do Porisma poderiam ser incluidos).
>>>
>>>Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
>>>grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. 
>>>grau.
>>>
>>>Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. 
>>>Acho
>>>que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes 
>>>pode
>>>ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
>>>encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O 
>>>"Proofs
>>>from the Book" tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
>>>
>>>Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar 
>>>uma
>>>compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
>>>
>>>Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
>>>
>>>Um abraco,
>>>Claudio.
>>>
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