Re: [obm-l] geometria....

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 07.08.03 22:59, guilherme S. at guilherme_s_ctba@yahoo.com.br wrote:

> Por favor gostaria da ajuda de vcs para a soluçao
> destes dois exercicios:
> 
> Mostre que se P_1,P_2,...,P_n sao vertices de um
> poligono regular
> de n lados inscrito em um circulo de raio 1, entao :
> (P_1P_2)*(P_1P_3)*(P_1P_4)*.....*(P_1P_n) =n.
> 
Este primeiro sai por complexos (mais especificamente, raizes n-esimas da
unidade) - veja artigo do Edmilson Motta sobre aplicacoes dos complexos em
geometria na Eureka no. 6.


> Prove que ,se uma secante a dois circulos ortogonais
> passa pelo centro
> de um deles ,os quatro pontos de intersecçao formam
> uma divisao 
> harmonica.
> 
Sejam O e O' os centros, "a" e "b" as medidas dos raios e P e Q os pontos de
de interseccao das circunferencias.
Por hipotese, os triangulos OO'P e OO'Q sao retangulos (em P e Q), ja que as
circunferencias sao ortogonais.

Vamos considear primeiro o caso particular em que a secante passa pelos dois
centros. Sejam A, B, C e D os pontos de interseccao (em ordem, digamos, da
esquerda para a direita - supondo a secante horizontal).

Seja x a medida de BC.

OO' = OB + BC + BO' = (a - x) + x + (b - x) = a + b - x

Alem disso, OO' = raiz(a^2 + b^2)  (Pitagoras em OO'P)

Logo, x = a + b - raiz(a^2+b^2).

Com isso, teremos:
AB = 2a - x = raiz(a^2+b^2) + a - b
BC = x = a + b - raiz(a^2 + b^2)
CD = 2b - x = raiz(a^2+b^2) - a + b
AD = 2a + 2b - x = a + b + raiz(a^2+b^2)

Logo:
BC*AD = [a+b-raiz(a^2+b^2)]*[a+b+raiz(a^2+b^2)] = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = 2ab

AB*CD = [raiz(a^2+b^2)+a-b]*[raiz(a^2+b^2)-a+b] = (a^2+b^2) - (a-b)^2 = 2ab

Ou seja, BC*AD = AB*CD ==>
BC/AB = CD/AD ==> 
A, B, C, D formam uma divisao harmonica

*****

Agora, tome uma secante generica passando por O e que intercepte cada
circunferencia em 2 pontos.

Sejam X, Y, Z e W os pontos de interseccao tais que O estah entre X e Y, Y
entre O e Z e Z entre Y e W.

Inicialmente teremos:
OX = OZ = OA = a

Alem disso (potencia de O em relacao a outra circunferencia):
OY*OW = OB*OD = (a - x)*(2b + a - x) = a^2 (fazendo as contas)

XY = OX + OY = a + OY
YZ = OZ - OY = a - OY
ZW = OW - OZ = OW - a
XW = OX + OW = a + OW

Assim:
YZ*XW = (a - OY)*(a + OW) = a^2 + (OW - OY)*a - OY*OW

XY*ZW = (a + OY)*(OW - a) = -a^2 + (OW - OY)*a + OY*OW

Portanto:
YZ*XW - XY*ZW = 2*(a^2 - OY*OW) = 0 ==>

YZ*XW = XY*ZW ==> X, Y, Z, W formam uma divisao harmonica


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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