Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos

[e_lema@xxxxxxxxx]

Olá, Cláudio: 
O problema, é que ao copiar a solução do bloco de notas, e colá-la na 
mensagem, ela embaralhou toda, vê se assim fica melhor, as correções foram 
feitas diretamente na mensagem original: 

Em 7 Aug 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 

>Oi, e_lema (qual o seu nome?): 
> 
>Meus comentários estão ao longo da sua mensagem. 
> 
>Um abraço, 
>Claudio. 
> 
>----- Original Message ----- 
>From: 
>To: 
>Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM 
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos 
> 
>> Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria 
>procurasse 
>> erros nela, ou tentasse simplificá-la. 
>> 
>> Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg. 
>da 
>> esq. p/ dir. 
>> Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 
300...0n00...0 
>> ou 
>> W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras 
>> não-negativas, onde n 
>> só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9 
> 
>Até aqui, estou 100% de acordo. 
>De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6 
é 
>o 36. 
>Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da 
>seguinte forma: 
> 
>Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7. 
>Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que: 
>3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==> 
>n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==> 
>(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==> 
>(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4. 
> 
>Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma: 
>3*10^p + 1 e 3*10^p + 4. 
> 
>> Provemos agora que p só pode ser zero. 
>> 
>> W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo: 
>> q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :. 
> 
>Você deveria ter escolhido outra letra que não "q", pois esta já estava 
>sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas 
>tudo bem... foi mal, nem vi. 
> 
>O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes 
possivelmente 
>irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até 
dar 
>certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entender....Se 
>você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria. 
> 
>> q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais 
>> temos dois casos possíveis: 
 t>=s    q+n^0,5=3*10^t e q-n^0,5=10^s  sistema 1 

                     ou 

 t<s     q+n^0,5=10^s e q-n^0,5=3*10^t  sistema 2 

 Logo, só temos 2 valores possíveis para q: 
     t>=s  a-)q=3*10^t+n^0,5 ou ; t<s  b-)q=10^s+n^0,5 


>> a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n 
   b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n 
>> 
>> a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, 
   pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0 
>> Desse jeito 
q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n 
>> q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores 
>> possíveis de n 
>> faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa. 
>> 
>> b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0 
>> Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior, 
>> logo a 
>> hipótese b também é falsa 
>> 
>> Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve 
>haver 
>> zeros, com isso 
>> W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6 
>> 
>> Logo a resposta será: 
>> 
>> 3600...0, onde o nº de zeros é par, ou 3,6*10^(2q+1); q>=0 e q inteiro 
>> 
>> Caso não tenha entendido, volte aos sistemas 1 e 2, e resolvá-os 
admitindo f=1 ou f=4, só que isso dá uma solução um pouco grande... 

   Um abraço, 
>  Eduardo 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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