Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, e_lema (qual o seu nome?):

Meus comentários estão ao longo da sua mensagem.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: <e_lema@ig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, August 06, 2003 8:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos


> Cláudio obrigado pelas correções, e aqui vai a solução, gostaria
procurasse
> erros nela, ou tentasse simplificá-la.
>
> Não há quadrado perfeito que termine em 3, logo o 3 deverá ser o 1º alg.
da
> esq. p/ dir.
> Sendo assim os números do tal conjunto deverão ser da forma 300...0n00...0
> ou
> W=3*10^(p+2q+1)+n*10^(2q) ; Sendo todas as incógnitas inteiras
> não-negativas, onde n
> só poderá assumir os valores de: 1, 4, 5, 6, 9

Até aqui, estou 100% de acordo.
De fato, numa mensagem anterior você provou que o único quadrado com n = 6 é
o 36.
Além disso, usando congruência mod 9, também eliminamos o 5 e o 9, da
seguinte forma:

Os quadrados (mod 9) são: 0, 1, 4 e 7.
Como W é quadrado e W == 3+n (mod 9), teremos que:
3+n == 0, 1, 4 ou 7 (mod 9) ==>
n == 6, 7, 1 ou 4 (mod 9) ==>
(dado que n pertence a {1,4,5,6,9}) n só pode ser 1, 4 ou 6 ==>
(em virtude da sua análise do caso n = 6) n só pode ser 1 ou 4.

Resumindo, o problema é provar que não existem quadrados da forma:
3*10^p + 1   e   3*10^p + 4.

> Provemos agora que p só pode ser zero.
>
> W=300...0n*10^(2q)=K*K, K inteiro :. 300...0n=q*q, q inteiro, logo:
> q*q=3*10^(p+1)+n=30*10^(p)+n :.

Você deveria ter escolhido outra letra que não "q", pois esta já estava
sendo usada pra representar o número de zeros à direita (em 10^(2q)), mas
tudo bem...

O problema começa a partir daqui, onde você introduz expoentes possivelmente
irracionais (o que é um pouco inusitado para este problema, mas pode até dar
certo no final) e a formatação/tabulação está bem difícil de entender....Se
você puder dar uma limpada no argumento e na formatação eu agradeceria.

> q*q-n=(q+n^0,5)(q-n^0,5)=[3*10^(t)]*[10^(s)], t,s reais
>                           q+n^0,5=3*10^t                  q+n^0,5=10^s
> q=3*10^t+n^0,5
> temos dois casos: t>=s :.      e             ou    t<s :.      e         ;
>      ou
>                           q-n^0,5=10^s                    q-n^0,5=3*10^t
> q=10^s+n^0,5
>
> a-)q*q=9*10^(2t)+6*n^(0,5)*10^(t)+n   ou
b-)q*q=10^(2s)+2*n^(0,5)*10^(s)+n
>
> a-)10^(2t)=10^(a)/3, a inteiro positivo, pois 9*10^(2t)=3*10^(a)=300...0
> Desse jeito q*q=3*10^(a)+6*((n*10^(a))/3)^(0,5)+n=3*10^(a)+2(n*3*10^(a))+n
> q*q só será inteiro se n*3*10^(a) o for também. Mas nehum dos valores
> possíveis de n
> faz essa condição ser obedecida. Daí, hipótese a é falsa.
>
> b-)10^(2s)=3*10^(a), a inteiro positivo, pois 10^(2s)=3*10^(a)=300...0
> Desse jeito q*q=3*10^(a)+2*(n*3*10^(a))+n, ora recaímos no caso anterior,
> logo a
> hipótese b também é falsa
>
> Disso concluímos que no número W=300...0n00...0, entre 3 e n não deve
haver
> zeros, com isso
> W=3n00...0=3n*10^(2q)=K*K :. 3n=q*q :. n=6
>
> Logo a resposta será:
>
>    3600...0, onde o nº de zeros é par, ou  3,6*10^(2q+1); q>=0 e q inteiro
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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