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Re: [obm-l] Involucao_de_N_em_N
Isto nao e tao nao-trivial assim vendo varios pontos de vista.Talvez a coisa
mais ubiqua seja a sequencia de fibonacci,mas nao como sequencia...
Ah,esse do teorema de beatty e muito legal!Bem,depois eu escrevo,mas a ideia
e ver desigualdades.
>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: [obm-l] Involucao_de_N_em_N
>Date: Sat, 2 Aug 2003 20:04:25 -0300
>
>Oi, Shine:
>
>Obrigado pela dica. Eu realmente nao tinha percebido que f(Fib(n)) =
>Fib(n+1).
>
>O resultado que voce menciona sobre os irracionais x e y com 1/x + 1/y = 1
>chama-se Teorema de Beatty. Uma demonstracao razoavelmente simples pode ser
>encontrada on-line em:
>http://www.cut-the-knot.org/proofs/Beatty.shtml
>(alias, este eh um site sobre matematica com varios artigos bem
>interessantes e relevantes para olimpiadas)
>
>O caso particular (x = phi e y = phi^2) foi um problema proposto na Eureka
>15, se nao me engano.
>
>Vou tentar demonstrar as relacoes:
> f([n*phi]+1) = [n*phi^2]+1 e f([n*phi^2]+1) = [n*phi]+1
>
>De qualquer jeito, tenho que admitir que a conexao
>involucao-Fibonacci-Beatty eh extrememente nao-trivial (pelo menos pra
>mim).
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Cópia:
>
>Data:Sat, 2 Aug 2003 13:46:35 -0700 (PDT)
>
>Assunto:Re: [obm-l] Involucao_de_N_em_N
>
>
>
> > Oi,
> >
> > Esse problema é de uma lista da preparação para a IMO
> > desse ano e, se não me engano, o Gugu o propôs (é isso
> > mesmo, Gugu?). A preparação desse ano já foi, então
> > podemos conversar sobre esse problema.
> >
> > Vamos ver alguns valores pequenos:
> >
> > f(1) = 1;
> > f(2) = 3;
> > f(3) = 2;
> > f(4) = 6;
> > f(5) = 8;
> > f(6) = 4;
> > f(7) = 11;
> > f(8) = 5;
> > f(9) = 14;
> > f(10) = 15;
> > f(11) = 7;
> > f(12) = 19;
> > f(13) = 21...
> >
> > Vamos formar os pares (a,b) nas quais f(a) = b e f(b)
> > = a (vamos convencionar a < b):
> >
> > (1;1), (2;3), (4;6), (5;8), (7;11), (9;14), (10;15),
> > (12;19), (13;21)...
> >
> > Apareceram os números consecutivos de Fibonacci (1;1),
> > (2;3), (5;8) e (13;21)... e as razões b/a em cada par
> > são muito próximas... de phi = (1+raiz(5))/2!
> >
> > Pode-se provar que se x e y são irracionais tais que
> > 1/x + 1/y = 1 então as seqüências [mx] e [ny], m,n
> > inteiros positivos, e [r] é o maior inteiro menor ou
> > igual a r, particionam os inteiros positivos, ou seja,
> > {[mx]} união {[ny]} = Z+* e {[mx]} inter {[ny]} =
> > vazio (eu aprendi a demonstração desse fato no livro
> > "Elementary Number Theory", de Joe Roberts). phi e
> > phi^2 satisfazem essa condição, assim as seqüências
> > [m*phi] e [n*phi^2] particionam Z+*.
> >
> > Se você calcular os valores pequenos dessas duas
> > seqüências, pode conjecturar que f([n*phi]+1) =
> > [n*phi^2]+1 e f([n*phi^2]+1) = [n*phi]+1.
> >
> > Eu lembro que, na época, provei isso por indução,
> > adicionando algumas hipóteses para sair mais fácil...
> >
> > Um problema relacionado caiu na IMO 1993 (acho que o
> > ano é esse...): Encontre uma função f de N em N tal
> > que f(f(n)) = f(n) + n para todo n em N.
> >
> > []'s
> > Shine
> >
> > > Caros colegas:
> >
> > > Este problema me foi proposto ha alguns meses pelo
> > Domingos Jr. mas eu nao consegui fazer. Trata-se da
> > generalizacao de um problema que ele resolveu aqui na
> > lista.
> >
> > > Seja N = conjunto dos inteiros positivos.
> > >
> > > Definimos f:N --> N por:
> > > f(1) = 1
> > > e, para n > 1,
> > > f(n) = menor inteiro positivo que:
> > > i) nao pertence a {f(1), ...., f(n-1)}
> > > e
> > > ii) faz com que [f(1) + ... + f(n)]/n seja inteiro.
> > >
> > > Prove que f eh uma involucao, ou seja, eh tal que
> > f(f(n)) = n, para todo n em N. (em particular, isso
> > implica que f eh uma bijecao, que foi o que o Domingos
> > provou).
> >
> > > Qualquer ajuda serah bem-vinda.
> >
> > > Um abraco,
> > > Claudio.
> >
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