Re: [obm-l]_potências

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 04.08.03 17:53, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

> Oi Cláudio e Morgado!
> 
> Preciso explicar essa questão para um aluno de segundo
> grau e não sei o que seria esse polinômio
> característico. Vou dizer o que não entendi.
> 
>> O polinomio caracteristico tem como raizes
>> 3+2raiz(2) e 3-2raiz(2) ==>
>> p(x) = x^2 - 6x + 1 ==>
> 
> Tudo bem que as raízes desse polinômio são os números
> em questão. Mas daí pra chegar em:
>> R(n) = 6R(n-1) - R(n-2)
> 
> Isso não sei de onde vem. Acho que ainda não estudei
> esse assunto...
> 
> Se puderem me ajudar mais um pouco agradeço.
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
Oi, Rafael:

Imagine que voce queira resolver uma recorrencia linear de 2a. ordem:
R(n) = aR(n-1) + bR(n-2)
com condicoes iniciais:
R(0) = P   e   R(1) = Q

Uma ideia eh procurar solucoes da forma R(n) = x^n, onde x eh uma constante
a ser determinada.

Entao, teremos: x^n = ax^(n-1) + bx^(n-2).

Passando tudo pro lado esquerdo e dividindo por x^(n-2), ficamos com:
x^2 - ax - b = 0 ==> equacao do 2o. grau

Chamemos as raizes de x1 e x2, as quais podem ser iguais ou distintas
(dependendo de se a^2 + 4b eh igual a zero ou nao).

Suponhamos que as raizes sejam distintas e nao-nulas (que eh o caso do seu
problema).

Nesse caso, nao eh dificil ver (basta substituir na formula de recorrencia)
que uma solucao da recorrencia serah da forma:
R(n) = A*x1^n + B*x2^n, onde A e B sao constantes que dependem das condicoes
iniciais. Estas ultimas implicam que:

R(0) = A + B = P
e
R(1) = A*x1 + B*x2 = Q ==> sistema linear 2x2, cuja solucao eh:

A = (x2*P - Q)/(x2 - x1)  e  B = (Q - x1*P)/(x2 - x1)
(lembre-se que estamos supondo x1 <> x2)

De fato, eh possivel provar que a solucao R(n) achada acima eh unica mas,
para o seu problema, a unicidade nao eh necessaria.

No seu caso, dadas as raizes, achamos o polinomio e, em seguida, a relacao
de recorrencia correspondente. Dai foi soh trabalhar com congruencia mod 10.

Espero que isso tenha ajudado.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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