[obm-l] Re: [obm-l] IMC - problema 1

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

  Oi pessoal, segue abaixo a minha solução do problema 1 do primeiro dia
da IMC. Ah, parabéns aa equipe brasileira!! Foi um ótimo resultado para
uma primeira participação nessa competição!!!
 
 
1)a) Seja a1, a2, ... , an, ... uma sequencia de
numeros reais tais que a1=1 e 
a(n+1)>3/2*an para todo n. Prove que a sequencia
   
            a(n)
        ------------
         (3/2)^(n-1)

tem um limite finito ou tende a infinito

b) Prove que para todo alfa>1 existe uma sequencia
a1,a2, ... ,an, ..., com as
mesmas propriedades , tal que
     

    lim      a(n)
    n->oo  ----------- = alfa
           (3/2)^(n-1)

 Sol.:
 Defina b(n) tal que a(n+1)=3/2.a(n).b(n). Então pela condição do problema
temos b(n)>= 1. Além disso,multiplicando essas n-1 primeiras igualdades,
temos:
a(2)= 3/2.a(1).b(1)
    .
    .             => a(n)= (3/2)^(n-1).b(1)...b(n-1) (*) =>
    .
a(n)= 3/2.a(n-1).b(n-1)

   a(n)/[(3/2)^(n-1)]= b(1)...b(n-1)
  Como b(i)>1, a sequência c(n-1)= b(1)...b(n-1) é estritamente crescente.
Logo tem um limite finito ou tende ao infinito. 
 
  (b) Continuando a trabalhar com os b(i)´s, faça 
          b(n)= alfa^(2^(-k)). 
   Como alfa >1, temos b(n)>1, e ainda 
         b(1)...b(n-1)= alfa[1-2^(-n)], de modo que lim c(n-1)= alfa. Os
a(n)´s ficam definidos então por (*):
     a(n)= (3/2)^(n-1).alfa[1-2^(-n)].
 
 Ateh mais, 
  Yuri

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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