Re: [obm-l] triângulo

[Fábio Dias Moreira <fabio.dias.moreira@xxxxxxxxxxxx>]

-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
Hash: SHA1

Em Saturday 26 July 2003 11:53, Rafael escreveu:
> Num triângulo ABC, o lado BC = 6m, a bissetriz interna
> AD é a média proporcional entre os segmentos DB e DC,
> e a mediana AM é média proporcional entre os lados AB
> e AC. Calcule os dois lados incógnitos do triângulo
> ABC.
> [...]

Sejam a=6, b, c os lados do triângulo. Sejam x e y os comprimentos de AD e AM, 
respectivamente. Por bissetrizes internas, DB = ab/(b+c); DC = ac/(b+c). Por 
Stewart em AD,

acb^2/(b+c) + abc^2/(b+c) = a(x^2+bca^2/(b+c)^2)
x^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2.

Mas pelo enunciado x^2 = DB*DC = bca^2/(b+c)^2. Logo

bca^2/(b+c)^2 = bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2
(b+c)^2 = 2a^2.

Por outro lado, por Stewart em AM,

ab^2/2 + ac^2/2 = a(y^2 + a^2/4)

2b^2 + 2c^2 = 4y^2 + a^2.

Mas y^2 = bc. Logo

(b-c)^2 = a^2/2.

[]s,

- -- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
-----BEGIN PGP SIGNATURE-----
Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux)

iD8DBQE/Iri5alOQFrvzGQoRAlZyAJ448ZjgAS7N+MD2UU7QS+Qbmje49ACfdYl6
vi1SCV+JG5JpyAz0QUMiv3E=
=W3oE
-----END PGP SIGNATURE-----

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================