[obm-l] Re: [obm-l] Artifício em Trigonometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jul 25, 2003 at 10:29:35PM -0300, Nelson wrote:
> Olá a todos, Ano passado um colega de cursinho me mostrou um artifício que,
> através dele, conseguia-se todas as fórmulas trigonométricas, ou quase todas.
> Mas eu não me lembro. Alguém conhece tal artifícil? Lembro-me que ele
> utilizou uma circunferência dividida em várias partes.

Não deve ser o que você tem em mente, mas as expressões

sen(t) = (e^(it) - e^(-it))/(2i)
cos(t) = (e^(it) + e^(-it))/2

reduzem todas as fórmulas de trigonometria a um pouco de álgebra.

Por exemplo, para provar que

sen(a+b) = sen a cos b + sen b cos a

expandimos o lado esquerdo e direito:

sen(a+b) = (e^(i(a+b)) - e^(i(-a-b)))/2i
sen a cos b + sen b cos a =
= ((e^(ia) - e^(-ia))(e^(ib) + e^(-ib)) + (e^(ib) - e^(-ib))(e^(ia) + e^(-ia)))/(4i)
= (e^(i(a+b)) + e^(i(a-b)) - e^(i(-a+b)) - e^(i(-a-b)) + e^(i(a+b)) + e^(i(-a+b)) - e^(i(a-b)) - e^(i(-a-b)))/(4i)

o que, juntando os termos, nos dá o lado esquerdo.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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