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Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
From: "Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>
Date: Tue, 22 Jul 2003 10:14:37 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano a 
que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou em 
realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?

Obrigado,
FRederico.


>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
>Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +0000
>
>Ola Pessoal,
>
>Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY  para o Teorema
>Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo 
>com
>pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros 
>do
>ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
>um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de 
>forma que
>qualquer pessoa possa entender.
>
>Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa 
>a
>prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar 
>aqui, por
>obvias razoes.
>
>A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se 
>everdade
>que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o 
>seu modulo
>e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer 
>este
>absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o 
>modulo do
>polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas 
>evidenciara
>o absurdo. O resto e detalhe.
>
>Segue a Prova de Cauchy :
>
>Seja  P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An  um polinomio no 
>qual os
>coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e 
>uma
>variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
>
>P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
>
>Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
>
>Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M 
>pode
>ser
>
>PRIMEIRO CASO : M = 0.
>
>Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
>P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
>
>SEGUNDO CASO : M > 0.
>
>Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
>plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z 
>na
>circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um 
>vetor,
>soma dos vetores :
>
>Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
>Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
>
>Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
>
>Z = Z0 + Z1
>
>Calculando agora P(Z), teremos :
>P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1) 
>+ An
>Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o 
>Binomio
>de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0, 
>An nas
>quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara 
>Z1 :
>
>1) Sozinho, sem que apareca Z0.  Exemplos :
>A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
>2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
>BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
>onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
>
>Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
>onde cada Bi e uma constante ou um  polinomio em Z0.
>
>Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0, alguns 
>destes
>Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o 
>polinomio em Z1
>resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi 
>por C's,
>teremos algo semelhante a :
>
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
>
>Nesta ultima expressao acima :
>
>1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
>2) a < b < c < ... < w, em virtude da ordenacao
>3) p <= n, obvio.
>
>Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>Como estamos supondo P(Z0) > 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>Fazendo C1/P(Z0) = k :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... + 
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1  +  k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
>onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
>
>Claramente que sao numeros complexos tanto "k" quanto Z1, podendo portanto 
>serem
>colocados na forma trigonometrica, isto e :
>
>k = P*( cosQ + i*senQ )   e   Z1 = R( cosS + i*senS )
>Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1) 
>)
>
>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna 
>modulo( P(Z) )
>minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois 
>C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO 
>na circunferencia do circulo de centro Z0 e raio R. Portanto, QUALQUER QUE 
>SEJA Z0, podemos escolher Z1 de forma que Q + aS = pi, qualquer que seja o 
>natural "a". Assim, existe Z1 tal que Q + aS = pi.
>E como Z = Z0 + Z1, podemo dizer que EXISTE Z tal que Q+aS = pi.
>
>Fazendo a substituicao :
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(pi) + i*sen(pi) )*( 1 + Z1*F(Z1) )
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 - P(R^a)*( 1 + Z1*F(Z1) ) = 1 - P(R^a) - 
>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>
>Aplicando modulo nos dois lados :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) - P(R^a)*Z1*F(Z1) ) )
>
>A desigualdade modulo(a-b) =< modulo(a) + modulo(b) aplica-se tambem aos 
>numeros
>complexos. Aplicando-a :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + modulo( 
>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + 
>P(R^a)*modulo(Z1)*modulo(F(Z1) )
>
>mas modulo(Z1) = R. Assim :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  =<  modulo ( 1 - P(R^a) ) + 
>P(R^a+1)*modulo(F(Z1) )
>
>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI. Nos tomamos um Z=Z0+Z1, isto e, escolhemos
>um Z0 de forma que Q+aS = pi. Ora, Z e um ponto da circunferencia do 
>circulo de centro
>Z0 e raio R. Portanto, se diminuirmos R e mantivermos a direcao de Z 
>estaremos, de fato, como que fazendo um corte no circulo original de raio R 
>... Isso ( a dimuicao de R ) vai diminuir
>P(R^a) e P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ), pois "a" e um numero natural fixo e R 
>esta diminuindo. Claramente que INEVITAVELMENTE P(R^a) se tornara maior que 
>P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) para algum R suficientemente pequeno. Quando isto 
>ocorrer :
>
>modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) < 1. Seguira que :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) )  <  1    =>     modulo( P(Z0+Z1) ) <  modulo( 
>P(Z0))  ... ABSURDO !
>Pois modulo(P(Z0)) e minimo !
>
>Esse absurdo derivou do fato de postularmos que modulo(P(Z0)) > 0. Assim, 
>esta tese e
>insustentavel e temos que admitir que :
>
>modulo(P(Z0)) = 0   =>  P(Z0) = 0, isto e :
>
>TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA : Toda equacao polinomial de qualquer grau N 
>e com quaisquer coeficientes complexos tem uma raiz.
>
>A PRIMEIRA IDEIA DE GAUSS : Em sua primeira demonstracao ( tese de 
>doutorado ) Gauss substitui cada numero complexo pelo binomio "a+bi" e 
>divide o polinomio em duas funcoes de duas variaveis : Real(a,b) e 
>Complexo(a,b). A seguir, tecendo consideracoes geometricas ele mostra que o 
>sistema :
>
>Real(a,b) = 0 e Complexo(a,b) = 0
>
>Necessariamente tem uma solucao. Ele nao ficou satisfeito e tentou ffazer 
>uma prova estritamente algebrica, mas nao conseguiu. Segundo Jean 
>Dioudonne, Matematico frances do Grupo Boubarki, o TFA depende 
>necessariamente de consideracoes topologicas e, portanto, a pretensao de 
>Gauss era infundada.
>
>O TFA tem muitas implicacoes. Uma, conhecida como TEOREMA DE BOLZANO, e 
>muito bonita. Alguem gostaria de mostrar esta implicacao ?
>
>Um Abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
>2,1448,210703
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>MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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