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Re: [obm-l] Problema de matrizes
Oi Morgado.
V� se esta serve.
Assuma que a matriz A � anti-sim�trica, isto �, A^T = -A. Agora suponha, por
hip�tese, que A + I � uma matriz n�o-invert�vel. Ent�o existe uma combina��o
linear n�o-nula das colunas de I + A que se igualam ao vetor nulo. Logo
existe um vetor real v tal que (I + A)v = 0, donde Av = -Iv = -v. Isto
implica que o produto interno dos vetores <Av, -v> = ||v||^2 � diferente de
zero. Mas -<Av, v> = -<A^Tv, v> = -<-Av, v> = <Av, v>, que implica <Av, v> =
0, uma contradi��o. Segue que nossa hip�tese n�o pode valer e A + I �
invers�vel.
Uso dois fatos que, acredito, s�o de conhecimento dos alunos do segundo grau
que prestam o ITA. Se a matriz A � n�o-invers�vel, existe um vetor v
n�o-nulo tal que Av = 0. O segundo � que se A � uma matriz e A^T � sua
transposta, ent�o segundo o produto interno usual <Av, u> = <v, A^Tu>, no
caso de vetores reais podemos permutar <u, v> = <v, u>.
Abra�o,
Duda.
From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> Propuseram-me um problema que estah me perturbando um pouco. Para
> resolve-lo tive que usar fatos que nao sao do conhecimento usual de um
> (bom) aluno de ensino medio. Alguem conseguiria uma solu�ao em nivel de
> vestibular do ITA?
> Problema:
> Prove que se a matriz real A eh anti-simetrica entao a matriz I + A eh
> invert�vel.
> Morgado
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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