Re: [obm-l] Problema de matrizes

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Morgado.

Vê se esta serve.

Assuma que a matriz A é anti-simétrica, isto é, A^T = -A. Agora suponha, por
hipótese, que A + I é uma matriz não-invertível. Então existe uma combinação
linear não-nula das colunas de I + A que se igualam ao vetor nulo. Logo
existe um vetor real v tal que (I + A)v = 0, donde Av = -Iv = -v. Isto
implica que o produto interno dos vetores <Av, -v> = ||v||^2 é diferente de
zero. Mas -<Av, v> = -<A^Tv, v> = -<-Av, v> = <Av, v>, que implica <Av, v> =
0, uma contradição. Segue que nossa hipótese não pode valer e A + I é
inversível.

Uso dois fatos que, acredito, são de conhecimento dos alunos do segundo grau
que prestam o ITA. Se a matriz A é não-inversível, existe um vetor v
não-nulo tal que Av = 0. O segundo é que se A é uma matriz e A^T é sua
transposta, então segundo o produto interno usual <Av, u> = <v, A^Tu>, no
caso de vetores reais podemos permutar <u, v> = <v, u>.

Abraço,
Duda.

From: "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> Propuseram-me um problema que estah me perturbando um pouco. Para
> resolve-lo tive que usar fatos que nao sao do conhecimento usual de um
> (bom) aluno de ensino medio. Alguem conseguiria uma soluçao em nivel de
> vestibular do ITA?
> Problema:
> Prove que se a matriz real A eh anti-simetrica entao a matriz I + A eh
> invertível.
> Morgado
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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