[obm-l] E-mail do Tengan sobre o IMO 6

[edmilson motta <edeale@xxxxxxxxx>]

Ei pessoal,

voces notaram que o problema 6 da prova e' uma
versao simplificada de um problema que eu e o Ed
mandamos em uma das listas de treinamento do ano
passado?  O problema da lista era algo assim:

Sejam a,r>1 e p um primo.  Prove que existe um
primo q tal que (a mod q) tem ordem p^r.

Este e' o famoso lema de van der Waerden, que e'
utilizado na prova do teorema de reciprocidade
geral de Artin (mais detalhes, veja por exemplo
Lang, Algebraic Number Theory, pag. 200).

A minha solucao e' curta demais pra um problema 6 da
IMO,
entao gostaria de pedir que voces checassem a 
solucao.  Para nao irritar aqueles que ainda
nao pensaram no problema, vou deixar um espaco
em branco:















































mais em baixo...




































































mais um pouco...















































ta' chegando...
































Agora sim, vamos ao problema.  Em primeiro lugar,
olhando para uma raiz
primitiva 
de q, e' facil reduzir o problema a
provar que existe um primo q tal que
p mod q nao e' uma p-esima potencia, i.e.,
p^{(q-1)/p} mod q nao e' 1 mod q.

Considere

N = (p^p-1)/(p-1) = p^(p-1) + ... + p + 1

Se q e' um primo que divide N e p-1, entao de
N=p mod q, segue q=p, absurdo.  Entao para
todo primo q que divide N, p mod q tem ordem
exatamente p.  O problema acaba se p^2 nao
divide q-1, mas se todos os primos que dividem
N sao = 1 mod p^2, entao N = 1 mod p^2, o
que e' um absurdo.

Agora vejam: se no lema de van der Waerden
a=p, r=1, este e' exatamente o problema da IMO,
com algumas pequenas modificacoes!  A solucao
do problema da lista e' igualzinho `a
demonstracao acima.  Eu lembro que o Alex e o
Issao fizeram este problema, e acho que mais
alunos tambem acertaram.  Espero que os
pokemons tenham se lembrado do problema
durante a prova!

Estamos melhorando: um problema na IMO e uma
previsao acertada!  Alguem arrisca os proximos
numeros da loto?

Ate'
ET



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