Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL

["Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <hpsbranco@xxxxxxxxxxxxxx>]

> Caros colegas da lista eu estou tendo um curso de
> algebra vetorial e o professor definiu  BASE, mas eu
> naum consigo entender, já li a definição do livro
> Apostol e tb naum entendi gostaria que alguem pudesse
> me dar uma definição clara e simples sobre BASE.
> muito obrigado
> Felipe Gastaldo

Felipe,
A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente
independentes. Como o nome indica, é possível escrever todos os outros
vetores desse espaço como combinação linear dos vetores da base. Como você
deve ter visto no seu livro, a base GERA o espaço vetorial. É um conceito
bem simples. Vejamos um exemplo:
No R^3, temos a base canônica (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Vemos que esse
conjunto de vetores claramente é l.i.
Agora, peguemos um vetor qualquer no R^3, digamos, (2, 5, 9) e tentemos
escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base. Precisam existir a, b
e c tais que:
a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (2,5,9) ==> (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) =
(2,5,9) ==> (a, b, c) = (2,5,9)
Portanto, a = 2, b = 5, c = 9.
E, dessa forma, todos os vetores do R^3 podem ser escritos como combinação
dos vetores da base canônica. Ou seja, esses três vetores tem a propriedade
de "criarem" todo o R^3.
Agora, preste atenção numa coisa: a base de um espaço não é única. Você tem
um conceito chamado "dimensão de um espaço de vetorial" que nada mais é o
número de vetores da base, que te diz que, num espaço de dimensão N,
qualquer conjunto l.i. de N vetores pode ser uma base para este espaço. No
caso de R^3 (dimensão 3), você percebeu que a base canônica só tem 3 vetores
mesmo. Se colocássemos mais um naquele conjunto, ele fatalmente seria
combinação linear dos outros. E qualquer conjunto l.i. de 3 vetores será uma
base para o R^3, ou seja, pode gerar esse espaço.
Espero que tenha entendido bem. Qualquer outra duvida, estamos aí.
Abraços,
Henrique.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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