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[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES
From: yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx
Date: Thu, 10 Jul 2003 00:47:01 -0300
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Oi Frederico,
 Gostei das questões! =P

(1)( => ) Suponha A e A^(-1) com entradas inteiras. Então  detA e detA^(-1)
são inteiros. Mas como detA.detA^(-1)= 1, devemos ter detA= +-1.
 ( <= ) Ora, se A= (a  b), então A^(-1)= 1/detA.(d  -b), e assim 
                   (c  d)                       (-c  a)
como detA= +-1, segue que A^(-1) tem entradas inteiras.

(2) Se vc tem um complexo z= a+ bi, então a rotação de z sobre a origem
de um ângulo A é obtido multiplicando z por cisA= cosA + i.senA. Logo os
outros dois vértices do triângulo são:
    (sqrt(3)+ i)cis(120º) e (sqrt(3)+ i)cis(240º).

(3) Temos raiz real dupla se e só se delta= 0 <=>
  b^2= 4ac. Daí sendo b primo, temos b= 2, e assim 2^2= 4ac =>
1= ac. Logo a, c não podem ser primos.

(4) Basta analisar módulo 8. Os quadrados só deixam resto 0, 1 e 4 (módulo
8), Mas 3^x= 1 (mod 8) se x é par e 3^x= 3 (mod 8) se x é ímpar. Logo 3^a+
3^b+ 1 só pode deixar resto
 1+ 1+ 1= 3 (mod 8)
 1+ 3+ 1= 5 (mod 8)
 3+ 3+ 1= 7 (mod 8)
 Assim, 3^a+ 3^b+ 1 nunca pode ser um quadrado perfeito.

(5) Se 1/p= a_0,a_1...a_i b_1...b_T(p) b_1...b_T(p)..., então
       10^i.(1/p)=        a_0 a_1...a_i,b_1..b_T(p) b_1..b_T(p)..
10^(i+T(p))(1/p)=a_0 a_1..a_ib_1..b_T(p),b_1..b_T(p)...
 Daí,
        (10^(i+T(p))-10^i).(1/p)=k, onde k é inteiro. Logo:
       (10^i)(10^(T(p))- 1)= p.k
  Como p é maior do que 5, temos (p, 10^i)= 1, donde p|(10^T(p)- 1) => 10^(T(p))=
1 (mod p) (*)
 (a) Se T(p)=2, então p|10^2- 1= 99 => p= 3 ou p= 11. Como p>5, temos que
p=11.
 (b) Continuando de (*), temos ord10(mod p)|T(p). Mas é fácil fazer o mesmo
que fizemos acima voltando para concluir que ord10(mod p)= T(p). Daí, T(p)|(p-1),
pois 10^(p- 1)= 1 (mod p), Além disso, R(n)= 11....1= 1+ 10+ ...+ 10^(n-
1)= (10^n- 1)/9. Logo p|R(n) <=> p|(10^n- 1)/9 <=> p|(10^n- 1) <=> 10^n=
1 (mod p), e o valor mínimo de n satisfazendo essa ultima congruencia é
ord10(mod p)= T(p).

(6) Se a parábola tivesse raizes racionais, deveriamos ter delta= x^2, com
x inteiro. Daí:
    b^2- 4.ac= x^2 => x ímpar
 Então b^2= x^2= 1 (mod 8), de modo que 8|(b^2- x^2) => 8|4ac, absurdo,
já que a, c são impares.

   Ateh mais,
  Yuri
   Mensagem original --

>Olá caros colegas da lista, seguem algumas questões que considero muito

>interessantes, para quem quiser se distrair um pouco nessas férias:
>
>(1)   Seja   A   uma matriz 2x2  com entradas inteiras. Mostre que  A tem
>
>inversa " com entradas ingteiras"   se, e somente se,   det(A) = + - 1
.
>(
>Uma das implicações é trivial. )
>
>(2)   Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência de centro na
>
>origem do sistema cartesiano, tem  o   número complexo    z= sqrt(3)  +
i
>
>como um de seus vértices. Determine os outros.
>
>(3)  Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raiz real

>dupla?
>
>(4) Sejam   a   , b    números naturais.  Mostre  que (3^a  + 3^b + 1 )

>
>nunca é um quadrado perfeito.
>
>(5) Seja  p  > 5   um número primo. Neste caso   1/p , o recíproco de
p
>,
>tem por  representação decimal uma dízima periódica. Indiquemos por  T(p)
> o
>número de algarismos que constituem o período.
>(a)  Mostre que existe um único primo   p  tal que  T(p)  = 2 .
>(b) Mostre que  T(p)   é o menor número natural  n   tal   que    :  n
|
>
>(p-1) e  p | R_n  ,  em que  R_n = 1111...1 ( n  dígitos 1 ) .
>Obs:  a | b  quando    b   é múltiplo de  a , isto é, existe  q  inteiro
>tal
>que   b = a . q   .
>
>(6) Mostre que se   a , b, c  são inteiros  ímpares   então a eq. 
>ax^2+bx+c=0   não tem raiz racional.
>( Proposto por Eduardo Wagner no 1o encontro da RPM. )
>
>Até a próxima.
>Frederico.
>
>
>>From: "Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios
>>Date: Wed, 09 Jul 2003 11:08:23 -0300
>>
>>
>>Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado,

>>análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante
que
>
>>dados   polinõmios   f(x), g(x) , g(x) <> 0,  com coeficientes num corpo
>K
>>( em particular se  K= R = conjunto dos numeros reais )  então existem
e
>
>>são únicos  q(x) e  r(x)  com coeficientes em  K  de tal forma que 
 f(x)
>
>>= g(x) X q(x) + r(x)     e     " r(x) =0   ou    grau(r) < gr(g)" .  A

>>demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução
>>matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em
>>
>>[1]    GONÇALVES, Adilson -  "Introdução Á Álgebra"  -  Projeto Euclides
>-
>>SBM/IMPA.
>>[2]   DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - " Álgebra Moderna"-  Atual
>
>>Editora.
>>
>>Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes
num
>
>>corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo

>>elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial.
SE
>
>>dividirmos  F(x)= x+1   por   G(x)  = 2   , olhando-os como polinômios
a
>
>>coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade.
>>Frederico.
>>
>>>From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios
>>>Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 +0000
>>>
>>>Gostaria de saber se ao dividirmos um polinomio P(x) com todos os seus
>
>>>coeficientes pertencentes aos reais por um polinomio Q(x) tambem com
todos
>
>>>os seus coeficientes pertencentes aos reais o o resto da divisao tem
que
>
>>>ser necessariamente um polinomio de coeficientes reais. Se nao gostaria
>de
>>>ver um exemplo pelo menos.
>>>
>>>Leonardo
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