Re: [obm-l] Sugestao para solucao

[Marcio <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

on 7/7/03 5:04 PM, Benedito at bene@ccet.ufrn.br wrote:

> Comece expandindo (x+y)^2 = x + y
> x^2 + xy + yx + y^2 = x + y. Como x^2 = x
> e  y^2 = y, temos
> xy + yx = 0.
> Multiplicando ambos os lados da última igualdade a direita por  x  e depois
> a esquerda por  x, obtemos duas igualdades:
> xyx + yx = 0   e   xy + xyx = 0 .
> Agora, observe que: num anel, o inverso de um elemento com relação a adição
> é único. Mas, então o inverso aditivo de xyx  é yx = xy.
> Portanto o anel é comutativo.
> 
> Benedito Freire
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Marcio" <mmrocha1@bol.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, August 27, 1956 11:53 PM
> Subject: Re: [obm-l] Sugestao para solucao
> 
> 
>> on 7/6/03 10:28 PM, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
>> hpsbranco@superig.com.br wrote:
>> 
>>>> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
>>> comutativo.
>>>> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 =
> x +
>>> y.
>>>> Desenvolvendo, temos:
>>>> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
>>>> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
>>>> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
>>>> xy = -(yx)
>>>> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
>>> 
>>> Olha, eu entendo tanto de corpos, anéis e similares quanto um botânico
>>> entende de fusão de metais a frio. Então, se minha pergunta for muito
>>> idiota, peguem leve...
>>> Não dá pra resolver x^2 = x e ver que os únicos elementos desse anel são
> 0 e
>>> 1? Claramente, a adição e multiplicação aí são comutativas. Será?
>>> 
>>> Abraços,
>>> Henrique.
>>> 
>>> 
> =========================================================================
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>> 
> =========================================================================
>> Ola, Henrique,
>> 
>> Valeu a tua boa vontade em ajudar!
>> 
>> Apesar de voce nao entender de aneis, penso que voce vai entender poque
> nao
>> eh possivel resolver a equacao como voce propos. Veja:
>> 
>> Quando voce resolve x^2 = x, voce chega a
>> 
>> x^2 - x = 0, e depois a
>> x. (x - 1) = 0, concluindo que x = 0 ou x = 1.
>> 
>> Ao resolver esta equacao no conjunto, por exemplo, dos inteiros (e que,
>> alias, eh um ANEL), voce se baseou em dois fatos relativos a ESTE conjunto
>> em particular, quais sejam:
>> (i) que, para todo x inteiro, x.1 = 1.x = x. (Um anel onde isto eh valido
> eh
>> chamado ANEL COM UNIDADE.)
>> (ii) que, para todos x e y inteiros, se x.y = 0, entao x = 0 ou y = 0. (Um
>> anel onde isto eh valido eh chamado de ANEL DE INTEGRIDADE.)
>> 
>> O problema, Henrique, eh que existem conjuntos onde (i) e (ii) nao sao
>> validos. Tome, por exemplo, o conjunto dos numeros pares, e voce verah que
>> ele nao possui neutro para a multiplicacao (chamado elemento unidade).
> Agora
>> tome o conjunto formado por pelos restos da divisao de qualquer inteiro
> por
>> 6. Neste conjunto, o numero 14 seria designado por 2 (que eh o resto da
>> divisao de 14 por 6) e o numero 15 seria designado por 3 (resto da divisao
>> de 15 por 6). Se voce multiplicar 14 por 15 (ou seja, 2 por 3 no referido
>> conjunto) voce vai obter 210, que divido por 6 deixa resto 0 (ou seja, no
>> tal conjunto 2.3 = 0, no entanto, 2 nao eh igual a 0 nem 3 eh igual 0).
>> 
>> Como, no problema, x eh uma elemento de uma anel qualquer, nao podemos
>> resolver a equacao como voce propos.
>> 
>> Ficou complicado? Eu fiz questao de escrever soh por causa da tua intencao
>> de ajudar, mas se compliquei muito, me desculpa.
>> 
>> Pro caso de voce querer saber mais, o livro "Introducao a Algebra", do
>> Adilson Goncalves, pode ser util. Tambem o do Abramo Hefez, "Curso de
>> Algebra". Os dois podem ser encontrados na pagina da SBM.
>> 
>> Um abraco.
>> 
>> Marcio Rocha.
>> 
>> P.S. Como tem outro Marcio na lista, eu estou me acostumando a assinar
>> Marcio Rocha, mas as vezes me esqueco.
>> 
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Simples e bonito!

Valeu, Benedito.

Marcio Rocha.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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