Re: [obm-l] Sugestao para solucao

["Benedito" <bene@xxxxxxxxxxxx>]

Comece expandindo (x+y)^2 = x + y
                                 x^2 + xy + yx + y^2 = x + y. Como x^2 = x
e  y^2 = y, temos
                                          xy + yx = 0.
Multiplicando ambos os lados da última igualdade a direita por  x  e depois
a esquerda por  x, obtemos duas igualdades:
                                           xyx + yx = 0   e   xy + xyx = 0 .
Agora, observe que: num anel, o inverso de um elemento com relação a adição
é único. Mas, então o inverso aditivo de xyx  é yx = xy.
Portanto o anel é comutativo.

Benedito Freire

----- Original Message -----
From: "Marcio" <mmrocha1@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, August 27, 1956 11:53 PM
Subject: Re: [obm-l] Sugestao para solucao


> on 7/6/03 10:28 PM, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
> hpsbranco@superig.com.br wrote:
>
> >> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
> > comutativo.
> >> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 =
x +
> > y.
> >> Desenvolvendo, temos:
> >> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
> >> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
> >> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
> >> xy = -(yx)
> >> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
> >
> > Olha, eu entendo tanto de corpos, anéis e similares quanto um botânico
> > entende de fusão de metais a frio. Então, se minha pergunta for muito
> > idiota, peguem leve...
> > Não dá pra resolver x^2 = x e ver que os únicos elementos desse anel são
0 e
> > 1? Claramente, a adição e multiplicação aí são comutativas. Será?
> >
> > Abraços,
> > Henrique.
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> Ola, Henrique,
>
> Valeu a tua boa vontade em ajudar!
>
> Apesar de voce nao entender de aneis, penso que voce vai entender poque
nao
> eh possivel resolver a equacao como voce propos. Veja:
>
> Quando voce resolve x^2 = x, voce chega a
>
> x^2 - x = 0, e depois a
> x. (x - 1) = 0, concluindo que x = 0 ou x = 1.
>
> Ao resolver esta equacao no conjunto, por exemplo, dos inteiros (e que,
> alias, eh um ANEL), voce se baseou em dois fatos relativos a ESTE conjunto
> em particular, quais sejam:
> (i) que, para todo x inteiro, x.1 = 1.x = x. (Um anel onde isto eh valido
eh
> chamado ANEL COM UNIDADE.)
> (ii) que, para todos x e y inteiros, se x.y = 0, entao x = 0 ou y = 0. (Um
> anel onde isto eh valido eh chamado de ANEL DE INTEGRIDADE.)
>
> O problema, Henrique, eh que existem conjuntos onde (i) e (ii) nao sao
> validos. Tome, por exemplo, o conjunto dos numeros pares, e voce verah que
> ele nao possui neutro para a multiplicacao (chamado elemento unidade).
Agora
> tome o conjunto formado por pelos restos da divisao de qualquer inteiro
por
> 6. Neste conjunto, o numero 14 seria designado por 2 (que eh o resto da
> divisao de 14 por 6) e o numero 15 seria designado por 3 (resto da divisao
> de 15 por 6). Se voce multiplicar 14 por 15 (ou seja, 2 por 3 no referido
> conjunto) voce vai obter 210, que divido por 6 deixa resto 0 (ou seja, no
> tal conjunto 2.3 = 0, no entanto, 2 nao eh igual a 0 nem 3 eh igual 0).
>
> Como, no problema, x eh uma elemento de uma anel qualquer, nao podemos
> resolver a equacao como voce propos.
>
> Ficou complicado? Eu fiz questao de escrever soh por causa da tua intencao
> de ajudar, mas se compliquei muito, me desculpa.
>
> Pro caso de voce querer saber mais, o livro "Introducao a Algebra", do
> Adilson Goncalves, pode ser util. Tambem o do Abramo Hefez, "Curso de
> Algebra". Os dois podem ser encontrados na pagina da SBM.
>
> Um abraco.
>
> Marcio Rocha.
>
> P.S. Como tem outro Marcio na lista, eu estou me acostumando a assinar
> Marcio Rocha, mas as vezes me esqueco.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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