Re: [obm-l] Sugestao para solucao

["Will" <will@xxxxxxxxxx>]

Peraí, o enunciado não diz "Anel com unidade", diz apenas "Anel"...
De qualquer forma, o caminho me parece ser mais ou menos este, mas é melhor
não usar "uns" e "menos uns" no argumento.

Saudações
Will
(mais tarde me apresento, aliás)

----- Original Message -----
From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, July 07, 2003 1:26 AM
Subject: Re: [obm-l] Sugestao para solucao


Olhem o que eu escrevi no meio da msg
-----Mensagem original-----
De: Domingos Jr. <dopikas@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 6 de Julho de 2003 23:57
Assunto: Re: [obm-l] Sugestao para solucao


>1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
>comutativo.
>A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
>y.
>Desenvolvendo, temos:
>x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
>x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
>Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
>xy = -(yx)
>Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
>
>que tal:
>-(yx) pertence a A, então
>-(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx

Aqui você não pode fazer isso :  [-(yx)]² = (yx)² , pois [-(yx)]²
=(-yx)*(-yx) e vc ñ sabe ainda q x e y comutam...  o seu argumento abaixo
mostra que (-1)^2 = 1 e como -1 está em A, temos que 1=(-1)^2=-1, portanto
xy = -yx = (-1)*yx = 1*yx = yx

>para ver que (-a)² = a², temos
>0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) => a.(-a) = -a²
>da mesma forma
>0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a => (-a).a = -a²
>tb temos:
>(a - a)² = 0
>a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0
>a² - a² - a²+ (-a)² = 0
>- a²+ (-a)² = 0 => (-a)² = a²
>
>acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade...

Abraços,
 Villard
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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