Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um triângulo

[Anderson Sales Pereira <aspx@xxxxxxxxxxxx>]

Ola Nicolau,

Obrigado pela correção.

Um abraço,

Anderson


At 15:14 27/6/2003 -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
>On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote:
> > Boa tarde pessoal tudo bem?
> >
> > Agradeceria se alguém pudesse corrigir este problema para mim, pois não
> > tenho certeza quanto 'a minha resolução:
> >
> > 2. Um museu tem um terreno de exposição na forma de um triângulo
> > retângulo de catetos 50m e 60m. A direção do museu decidiu ladrilhar
> > a área. Cada ladrilho é um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos
> > são feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido
> > ao risco de rachaduras. Além disso, apenas uma das partes do
> > ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda:
> > a) Qual o número exato de ladrilhos que será empregado na obra?
> >
> > O número exato de ladrilhos utilizado é igual 'a area do triangulo 
> dividida
> > pela 'area de cada ladrilho. Transformando os valores para centimetros 
> temos:
> >
> > Área Terreno = (6000 x 5000) / 2 = 15 000 000 cm^2
> > Área Ladrilho = 10 x 10 = 100 cm^2
> > n Ladrilhos = 15 000 000 / 100 = 150 000 ladrilhos
>
>Não, isto não está certo. Você está implicitamente supondo que os ladrilhos
>podem ser recotados e remontados livremente quando o enunciado diz exatamente
>o contrário.
>
>Acho que devemos supor que os ladrilhos têm todos os lados paralelos
>aos catetos do terreno (isso não foi dito no enunciado; uma solução
>a meu ver mais correta incluiria estudar todas as inclinações possíveis
>e ver qual a melhor). Assim, medindo tudo em decímetros, devemos
>considerar o triângulo de vértices (0,0), (500,0) e (0,600) e ver
>quantos quadrados da forma [a,a+1]x[b,b+1], onde a e b são inteiros,
>tem alguma parte (que pode ser pequena ou o quadrado todo) no interior
>do triângulo. Como para a, b >= 0, o canto inferior esquerdo é o que tem
>mais chance de estar abaixo da hipotenusa devemos contar os pares de
>inteiros (a,b) com
>
>a >= 0, b >= 0, a/500 + b/600 < 1
>
>que eu prefiro escrever como
>
>a >= 0, b >= 0, b < 600 - 6a/5.
>
>Para cada a, 0 <= a < 500, seja f(a) o número de inteiros b que satisfazem
>
>b >= 0, b < 600 - 6a/5
>
>A resposta é N = f(0) + f(1) + ... + f(499) = soma_{0 <= a < 500} f(a)
>Temos f(a) = teto(600 - 6a/5), onde teto(x) = n sse n é inteiro e
>n-1 < x <= n. Assim
>
>N = teto(600) + teto(600 - 6/5) + teto(600 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 3*6/5) + teto(600 - 4*6/5) +
>    + teto(600 - 6) + teto(600 - 6 - 6/5) + teto(600 - 6 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 6 - 3*6/5) + teto(600 - 6 - 4*6/5) + ...
>... + teto(600 - 6*99) + teto(600 - 6*99 - 6/5) + teto(600 - 6*99 - 2*6/5) +
>         + teto(600 - 6*99 - 3*6/5) + teto(600 - 6*99 - 4*6/5)
>   = 600*500 - 5*6*(0+1+2+...+99) +
>         + 100*(teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5))
>
>
>Mas 0+1+2+...+99 = 99*50 = 4950 e
>teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5) = -1-2-3-4 = -10
>donde
>
>N = 300000 - 30*4950 - 100*10 = 150500
>
>Ou seja, no quebra quebra há um desperdício de 500 ladrilhos.
>
>O número de ladrilhos cortados é 1000: há exatamente dois ladrilhos
>cortados por linha e há 500 linhas. Isto pode ser visto olhando a figura
>ou com um argumento parecido com o que eu acabei de dar.
>
>Note que se pudéssemos usar os dois pedaços do ladrilho a sua resposta
>estaria correta: precisamos de 149500 ladrilhos inteiros e 1000 pedaços
>que podem ser encaixados para formar 500 ladrilhos.
>
>[]s, N.
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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