Re: [obm-l] 2 Problemas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

    Caros colegas,
    Seguem abaixo (no texto) comentarios sobre o segundo problema que eu
propus.
    Abracos,
             Gugu 

>
>   Caros colegas,
>   Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
>www.impa.br/~gugu/ChebSum2.ps ) uma versao atualizada da nota que eu
>mencionei abaixo (que agora esta' organizada de um jeito um pouco diferente,
>incluindo a Proposicao 1, que implica esses resultados sobre o modulo maximo
>que eu mencionei abaixo, e incorporando correcoes achadas pelo Fabio).
>   Ja' que ninguem escreveu sobre os problemas da minha mensagem anterior
>vou escrever solucoes resumidas.
>   Abracos,
>            Gugu
>
>>
>>    Caros colegas,
>>    Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
>>www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do 
>>problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo
>>de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei um 
>>resultado um pouco mais geral); sobre o modulo maximo dos coeficientes
>>tambem e' o P_n - isso ja' era conhecido (ver o livro do Rivlin citado na
>>nota), e tambem segue da prova do teorema da nota. A prova e' relativamente 
>>elementar: eu so' uso interpolacao de Lagrange. Como eu nao achei esse 
>>resultado na literatura, acho que vou submeter a alguma revista para ver o 
>>que acontece (em particular para ver se isso ja' e' conhecido ou nao...).
>>    Abracos,
>>            Gugu
>>
>>P.S.: Alguem fez os exercicios que eu propus na mensagem abaixo ? 
>>
>>>
>>>   Caro Duda,
>>>   O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o
>>>maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e'
>>>definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia
>>>P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos
>>>modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2
>>>(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)).
>>>   Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais
>>>popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1
>>>tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem
>>>modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio
>>>provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de
>>>x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n).
>
>   De fato, se P e' um tal polinomio cujo coeficiente lider A tem modulo
>maor que 2^(n-1) entao (2^(n-1)/A).P(x) e' um polinomio com coeficiente
>lider 2^(n-1) de grau n tal que |P(x)| < 1 para -1<=x<=1. Assim,
>Q(x)=P_n(x)-P(x) e' um polinomio de grau <= n-1 (pois o coeficiente lider de 
>P_n e' 2^(n-1), e como P_n(cos(k.pi/n))=cos(k.pi)=(-1)^k (e |P(cos(k.pi/n)|<1), 
>o sinal de Q(cos(k.pi/n)) e' (-1)^k, para 0<=k<=n, donde Q(x) tem pelo menos
>uma raiz entre cos((k-1).pi/n) e cos(k.pi/n), para 1<=k<=n, e logo tem pelo
>menos n raizes, o que e' absurdo, pois seu grau e' menor que n.      
>
>>>   Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que
>>>a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que
>>>|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). 
>
>  Acho que vou deixar isso para depois (nao estou conseguindo lembrar do meu
>argumento...), mas e' claro que isso segue do fato abaixo...

   Bom, eu acho que eu me enganei: o argumento que eu tinha nao da'
exatamente isso, mas uma coisa mais fraca (lembrando sempre que uma
estimativa mais forte,e de fato a mais forte possivel, que e' s_n, esta'
provada nessa nota que eu coloquei na minha pagina): Se x_n e' o maior valor 
possivel da soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n
com |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao x_n < 7.s_n.
   Para isso, vamos provar primeiro que x_n<=s_n+2.x_(n-1) (isso parece com
o que eu tinha enunciado, mas infelizmente nao e' a mesma coisa...). De
fato, se P(x) e' um tal polinomio de grau n com coeficiente lider A, temos
|A|<=2^(n-1) pelo problema anterior. Consideremos entao o polinomio
Q(x)=(P(x)-(A/2^(n-1)).P_n(x))/2. Temos que Q(x) e' um polinomio de grau
<=n-1, pois o coeficiente lider de P_n e' 2^(n-1), e |Q(x)|<=1 para -1<=x<=1,
pois |A/2^(n-1)|<=1 e |P_n(x)|<=1 para -1<=x<=1. Assim, por hipotese de
inducao, a soma dos modulos dos coeficientes de Q(x) e' menor ou igual a
x_(n-1), e portanto, como P(x)=2.Q(x)+(A/2^(n-1)).P_n(x), a soma dos modulos 
dos coeficientes de P(x) e' no maximo 2.x_(n-1)+s_n (pois a soma dos modulos 
dos coeficientes de P_n(x) e' s_n, e |A/2^(n-1)|<=1).
   Agora, como s_n >= s_(n-1), e s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1), temos s_(n+1)<=3.s_n,
para todo n>=1, e portanto s_(n+2)=2.s_(n+1)+s_n >= 2.s_(n+1)+s_(n+1)/3 =
(7/3).s_(n+1), para todo n>=1. Por outro lado, x_0=1, donde x_1<=s_1+2.x_0=3,
e logo x_n < 7.s_n para n=1 e n=2. Temos entao, por inducao, para n>=3,
x_n<=s_n+2.x_(n-1)<=s_n+14.s_(n-1)<=s_n+14.(3/7).s_n=7.s_n, c.q.d.
 
>
>>>Eu acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais
>>>trabalho.
>
>   Vejam a nota mencionada acima!
>
>>>   Abracos,
>>>           Gugu
>>>
>>>    
>>>>
>>>>Caros colegas da lista,
>>>>
>>>>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O
>>>>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles:
>>>>
>>>>Problema 1.  O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática,
>>>>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou
>>>>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois
>>>>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares.
>>>>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que
>>>>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons
>>>>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais
>>>>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre
>>>>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de
>>>>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão
>>>>finita.
>>>>
>>>>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato,
>>>>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de
>>>>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.),
>>>>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí
>>>>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua
>>>>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande
>>>>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na
>>>>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica
>>>>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino
>>>>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata
>>>>dessas experiências?
>>>>
>>>>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
>>>>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
>>>>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
>>>>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?
>>>>
>>>>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de
>>>>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o
>>>>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta
>>>>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo.
>>>>
>>>>Um Abraço a todos,
>>>>Duda.
>>>>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================