Re: [obm-l] 2 Problemas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caros colegas,
   Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
www.impa.br/~gugu/ChebSum2.ps ) uma versao atualizada da nota que eu
mencionei abaixo (que agora esta' organizada de um jeito um pouco diferente,
incluindo a Proposicao 1, que implica esses resultados sobre o modulo maximo
que eu mencionei abaixo, e incorporando correcoes achadas pelo Fabio).
   Ja' que ninguem escreveu sobre os problemas da minha mensagem anterior
vou escrever solucoes resumidas.
   Abracos,
            Gugu

>
>    Caros colegas,
>    Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
>www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do 
>problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo
>de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei um 
>resultado um pouco mais geral); sobre o modulo maximo dos coeficientes
>tambem e' o P_n - isso ja' era conhecido (ver o livro do Rivlin citado na
>nota), e tambem segue da prova do teorema da nota. A prova e' relativamente 
>elementar: eu so' uso interpolacao de Lagrange. Como eu nao achei esse 
>resultado na literatura, acho que vou submeter a alguma revista para ver o 
>que acontece (em particular para ver se isso ja' e' conhecido ou nao...).
>    Abracos,
>            Gugu
>
>P.S.: Alguem fez os exercicios que eu propus na mensagem abaixo ? 
>
>>
>>   Caro Duda,
>>   O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o
>>maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e'
>>definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia
>>P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos
>>modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2
>>(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)).
>>   Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais
>>popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1
>>tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem
>>modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio
>>provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de
>>x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n).

   De fato, se P e' um tal polinomio cujo coeficiente lider A tem modulo
maor que 2^(n-1) entao (2^(n-1)/A).P(x) e' um polinomio com coeficiente
lider 2^(n-1) de grau n tal que |P(x)| < 1 para -1<=x<=1. Assim,
Q(x)=P_n(x)-P(x) e' um polinomio de grau <= n-1 (pois o coeficiente lider de 
P_n e' 2^(n-1), e como P_n(cos(k.pi/n))=cos(k.pi)=(-1)^k (e |P(cos(k.pi/n)|<1), 
o sinal de Q(cos(k.pi/n)) e' (-1)^k, para 0<=k<=n, donde Q(x) tem pelo menos
uma raiz entre cos((k-1).pi/n) e cos(k.pi/n), para 1<=k<=n, e logo tem pelo
menos n raizes, o que e' absurdo, pois seu grau e' menor que n.      

>>   Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que
>>a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que
>>|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). 

  Acho que vou deixar isso para depois (nao estou conseguindo lembrar do meu
argumento...), mas e' claro que isso segue do fato abaixo...

>>Eu acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais
>>trabalho.

   Vejam a nota mencionada acima!

>>   Abracos,
>>           Gugu
>>
>>    
>>>
>>>Caros colegas da lista,
>>>
>>>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O
>>>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles:
>>>
>>>Problema 1.  O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática,
>>>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou
>>>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois
>>>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares.
>>>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que
>>>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons
>>>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais
>>>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre
>>>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de
>>>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão
>>>finita.
>>>
>>>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato,
>>>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de
>>>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.),
>>>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí
>>>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua
>>>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande
>>>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na
>>>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica
>>>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino
>>>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata
>>>dessas experiências?
>>>
>>>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
>>>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
>>>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
>>>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?
>>>
>>>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de
>>>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o
>>>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta
>>>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo.
>>>
>>>Um Abraço a todos,
>>>Duda.
>>>
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>>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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