Re: [obm-l] Derivadas

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Diego.

Parabéns pela sua resposta! Que senso de humor! Escreva mais para a lista!
Se todos explicassem os termos matemáticos da maneira como você explicou,
essa seria a matéria mais adorada pelos estudantes. Genial!

Abração!
Duda.

From: "Diego Navarro" <diego@navarro.mus.br>
> >   Estou com um problema:
> >   Sei que a derivada de y=f(x) no ponto de abcissa xo é o coeficiente
> > angular da reata tangente à função y=f(x) no ponto P(Xo,yo).
> >   Gostaria de saber o que significaria a derivada segunda de xo, a
derivada
> > terceira de xo, a derivada n de xo, em relação a função original.
>
> Se eu estiver falando besteiras alguém vai me corrigir rápido, então eu
arrisco. Outro dia
> eu soltei uma de confundir distância em espaço métrico com norma em espaço
vetorial que me
> deu uma vergonha depois...
>
> Mas, bem, tentar é preciso. A gente só aprende assim. E em todo caso, o
Nicolau tem mais o
> que fazer do que ficar ensinando cálculo zero. É o seguinte: pense em
física.
>
> A avenida das Américas é uma longa estrada em linha reta que vai do início
da Barra até o
> Grumari, ou mais longe. A cada 5 quilômetros, tem um cartaz marcando "Km
10", "Km 15".
> Você tem uma função s(t) - escalar, por enquanto - que te diz em que ponto
da Avenida das
> Américas está o seu carro em um determinado instante do tempo. A menos que
você dê voltas
> e pegue retornos, a sua função s(t) será estritamente crescente.
>
> Como é que você calcula a velocidade média que o seu carro desenvolveu,
digamos, do 10o.
> ao 15o. minuto? Você vê quanto o seu carro andou e divide pelo tempo
percorrido.
>
> Vme(10,15) =  [s(15)-s(10)]/(15-10).
>
> Em geral,
>
> Vme (a,b) = [s(b) - s(a)]/(b-a).
>
> Onde a e b são "pontos no tempo"; você inicia um cronômetro no começo da
brincadeira, e
> olha para ele em dois momentos a e b. Mas rola o seguinte: a velocidade
máxima permitida
> na Av. das Américas é de 80 km/h. Mas no espaço de tempo [a,b] que você
mediu, você foi
> metade do trajeto a 20 km/h, e metade a 120 km/h, dando uma velocidade
média menor que
> oitenta quilômetros por hora. Quando o policial te parar, você pode sacar
a sua HP 49-G,
> fazer umas duas integrais para calcular precisamente sua velocidade média,
e explicar para
> ele que na média, você estava dentro da lei. Pode?
>
> O chato é que difícilmente os nossos policiais sabem cálculo. Eles só
sabem o que é
> velocidade instantânea. E velocidade instantânea é, grosseiramente, a Vme
em um espaço
> curtinho de tempo. Mas o nosso policial só é policial enquanto espera a
graduação e o
> mestrado por notório saber saírem da burocracia, então ele saca o
bloquinho de papel e faz
> um limite.
>
> lim Vme(a,b)  = V(a)
> b-->a
>
> Se você for fazer a conta, vai achar a fórmula da derivada que tem no
livro.
>
> V(a) = s'(a)
>
> E ele te mostra que, dado o momento b em que ele te parou, existe um
epsilon, mesmo que
> pequeno, tal que Vme(b-epsilon, b) > 80. E lá se vai a sua permissão de
motorista. Tudo
> culpa do Cauchy, que inventou essa história de limites.
>
> *Derivada é isso: uma velocidade*. A história de inclinação da tangente
ajuda a ver se
> tiver o gráfico - mas eu não vou ficar desenhando um gráfico pra você
quando tenho prova
> de microeconomia na terça.
>
> Agora imagine que a nossa função inicial não é a posição na Av. das
Américas, mas a sua
> velocidade. O vento levou os cartazes que marcavam os quilômetros, e você
só tem o seu
> velocímetro e a sua namorada anotando as velocidades a cada 60 segundos. O
que vai ser a
> derivada da função velocidade? A "velocidade" com que a velocidade muda -
ou seja, a
> aceleração. Aquela história de "vai de 0 a 100 em 40 segundos". Qualquer
fanático por
> automóveis vai te dizer que o que você sente não é a velocidade, é a
aceleração.
>
> Se o carro vai de 0 a 360 m/s em 60 segundos, a "aceleração média" é
>
> Ame(0,60) = V(60) - V(0) / (60-0) = 360 / 60 = 6 m/s^2
>
> Mas será que ele começa a desenvolver 6 m/s^2 desde o momento que você
vira a chave?
> Provavelmente ele começa aos pouquinhos e vai "acelerando cada vez mais
rápido". Se você
> puxar um limite na velocidade, vai achar a aceleração instantânea.
>
> lim Ame(a,b) = A(b) = V'(b)
> b-->a
>
> E como v(b) = s(b), v'(b) = s''(b). Que é a segunda derivada. Segunda
derivada de qualquer
> coisa é a "taxa de aceleração".
>
> Pense num exemplo diferente agora. Uma função demanda diz quanto os
consumidores estão
> dispostos a comprar dado um preço. Suponha, para facilitar, que você é um
monopolista - o
> único cara que tem um show do Malevolent Creation no Rio este ano - e por
isso define o
> preço que quiser. A quantidade de ingressos que você vai vender é igual a
>
> Q = D(p)
>
> E o dinheiro que você vai ganhar com isso (a sua Receita) é
>
> R = p*q = p*d(p).
>
> Qual é o preço que maximiza a sua receita? Supondo que você é um padeiro
tijucano que não
> estudou cálculo, a sua melhor estratégia vai ser experimentar aumentar o
preço aos
> pouquinhos. Eu sei que a função demanda é  D(p) = 500 - p,  mas para usar
um truque
> hitchockiano, vou deixar você sem saber isso. Então você vai e experimenta
o preço p =
> 100. E verifica, atônito, que
>
> R (100) = 100*d(100) = 100*(500-100) = 40.000.
>
> Agora aumenta o preço para p=200
>
> R(200) = 200*d(200) = 200*(500-200) = 60.000.
>
> Esse negócio de promover shows de rock é _muito_ lucrativo. Aumente logo
para 300, diz o
> diabinho no seu ombro. E você verifica que
>
> R(300) = 300*d(300)=300*(500-300) = 60.000.
>
> Quer dizer, a sua receita parou de crescer. E se você aumentar o preço
para 400, R(400) =
> 40.000 de novo. Portanto, o seu preço ótimo deve estar em algum ponto
entre 200 e 300.
> Então você volta para 200, e começa a dar passinhos menores. Ou, se você
descobrir a sua
> função demanda, usa cálculo. Eu te disse que a demanda é D(p) = 500 - p,
certo? Então a
> receita é
>
> R(p) = p* (500-p) = p^2 - 500p.
>
> Cá entre nós, essa função quadrática é conhecida, e a gente sabe que fica
uma parábola,
> com um único ponto de máximo. Então você quer saber em que ponto ela pára
de crescer para
> começar a diminuir, e faz a conta direto: em que ponto a sua *receita
marginal* é zero?
>
> R'(p) = 0 ==> 2p-500=0 ==> p=250
>
> Que é o seu preço ótimo. Mas se a gente não conhecesse a natureza dessa
função receita? Se
> ela tiver vários pontos de inflexão (pontos onde ela muda de direção) e só
um deles for o
> máximo? Se ela não tiver máximo, mas mínimo? Pra saber isso melhor, a
gente vai estudar o
> comportamento da derivada - pelo menos para saber se tem mais de um ponto
onde ela pára de
> crescer e passa a diminuir. E para isso, a gente vai derivar a derivada da
derivada.
>
> R''(p) = 2
>
> E só daí você tira que a derivada não prega peças na gente. Como a
derivada é a taxa de
> variação da receita, a receita cai onde ela é menor que zero, e sobe onde
ela é maior que
> zero. Como a derivada da derivada é uma constante, você sabe que a
derivada primeira é uma
> função linear, e só passa pelo zero uma vez.
>
> E a gente já viu que quando a derivada passa pelo zero (e _cruza_ o zero,
o que não vai
> acontecer num polinômio de grau 3, por exemplo), a função muda de
comportamento. No nosso
> caso, pára de crescer e começa a decrescer. E nós, como capitalistas
fominhas que somos,
> queremos o máximo possível.
>
> Só um caveat: nem todo ponto onde a derivada é igual a zero é um ponto de
_inflexão_  (de
> mudança de comportamento). Dá uma olhada na seguinte f:
>
> f(x) = x^3.
>
> Logo, f'(x) = 3*x^2. A derivada vai ser zero em 3x^2 = 0 ==> x=0.
>
> Mas dê uma olhada na segunda derivada:
>
> f''(x) = 6x.
>
> Acho que já deu pra ver que a derivada primeira não é linear. E pior, à
medida que x
> aumenta, a _derivada segunda_ sempre aumenta, o que quer dizer que a
_derivada primeira_
> aumenta a taxas cada vez maiores. Se você olhar o gráfico da derivada
primeira, vai ver
> uma parábola. Tem um ponto onde ela ameaça cruzar o zero e ficar negativa,
mas encosta e
> volta. E se você for ver o gráfico de x^3, a função ameaça dar a volta e
começar a cair,
> mas dá uma paradinha e continua.
>
> Puxa, como escrevi. Acho que gosto de fazer isso. Ah, se a matemática me
amasse como eu a
> amo...
>
>
> >
> >   Agradeço a ajuda,
> >                              Thiago
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