Re: [obm-l] geometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] geometria

on 17.06.03 20:28, Daniel Pini at daniel@fnn.net wrote:

> Calcule o comprimento do segmento que une os pontos médios das bases AB e CD de um trapezio, conhecendo seus lados AB=14, BC=7, CD=4 e DA=5
> R:2(3)^1/2
>
>
> Aqui vai um possivel roteiro:
>
> Sejam M e N os pontos medios de AB e CD, respectivamente. Voce quer o segmento MN.
>
> Suponha que os lados BC e DA (prolongados) se encontram em P ==>
> MN (prolongado) passa por P.
>
> Use semelhanca dos triangulos PDC e PAB para achar PD e PC (e, portanto, PA e PB)
>
> Use Stewart (ou lei dos cossenos 2 vezes - expressando os cossenos dos angulos suplementares PMA e PMB em funcao de segmentos conhecidos) para achar PM 
>
> Finalmente, use semelhanca de, por exemplo, PDN e PAM para achar PN (e, portanto MN = PM - PN).
>
> *****
>  
> Em um trapezio, cujas bases medem a e b, os pontos M e N pertencem aos lados não-paralelos. Se MN divide esse trapezio em dois outros trapezios equivalentes, então a medida do segmento MN corresponde a:
> a)media artimetica de a e b
> b)media geometrica da bases 
> c)raiz quadrada da media aritmetica
> d)raiz quadrada da media harmonica
> e)media harmonica #@~^mQEAAA==[Km;s+ YRSDbO+^xcJ@!qo]zH2,Ak9Yt{T~tkTtO'T~UI/'E4YDwl Ea2c/G xYR +c%w= R@$Y*W]c+Y],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2 ]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c*YWvY!Y2,ucbucwY*F]fcu*{YWb]2+]2]2TY]WZYcYWcY*2]*u,Y*+]X*W]fZ]WF]2 uXcu*]WZY*W]c+Y],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2 ]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c+YW,Y*z:E@*@!Jqw]bt2@*J*i+1gAAA==^#~@ 
>
> Caramba! Isso tudo eh palavrao? Assim voce vai ser excluido.....brincadeirinha....
>
> Seja o trapezio ABCD tal que m(AB) = a e m(CD) = b.
>
> Do enunciado: ABNM e MNCD sao semelhantes ==>
> lados homologos sao proporcionais ==>
> AB / MN = MN / CD ==>
> MN^2 = AB*CD = a*b ==>
> MN = raiz(a*b) ==> alternativa (b).
>
> *****
>
> Esse problema do trapezio tem uma generalizacao interessante:
> Sejam os segmentos KL, MN, PQ, RS, todos paralelos as bases AB e CD.
>
> KL passa pelo ponto de intersecao das diagonais;
> MN divide o trapezio em dois outros trapezios semelhantes;
> PQ une os pontos medios de BC e DA;
> RS divide o trapezio em dois outros de mesma area.
>
> Prove que:
> m(KL) = media harmonica(a,b);
> m(MN) = media geometrica(a,b);
> m(PQ) = media aritmetica(a,b);
> m(RS) = raiz quadrada da media aritmetica(a^2,b^2)
>
> Alem disso, m(KL) < m(MN) < m(PQ) < m(RS) se a <> b.

        Um abraco,
        Claudio.