Re: [obm-l] Geometria Plana

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcio e Eduardo:

Esse problema tem uma generalização interessante.

Inicialmente, dado um n-gono (n >= 3) inscrito A1A2...An, considere a soma
das medidas (em radianos) dos arcos A1A2, A2A3, ..., AnA1. O valor desta
soma sempre será um múltiplo de 2Pi, digamos 2Pi*m, onde m é um inteiro tal
que 1 <= m < n/2. O polígono será convexo se e somente se m = 1.

A generalização é a seguinte:
Dados n segmentos (n >= 3) de comprimentos L1, L2, ..., Ln, sempre existirá
um real positivo R tal que os n segmentos formam os lados de um polígono
inscritível num círculo de raio R. Além disso, se ficarmos restritos a uma
valor fixo de m, podemos tomar os segmentos em qualquer ordem que o polígono
formado por eles ainda será inscritível no mesmo círculo.

A primeira parte decorre dos seguintes fatos:
1) Dado um circulo de raio R, uma corda de comprimento L estará compreendida
por um ângulo central de medida 2x, onde x = arcsen(L/(2R)) e 0 < x < Pi/2.

2) A função f: (L,+infinito) --> (0,Pi/2), definida por f(x) = arcsen(L/x) é
uma bijeção contínua e monótona decrescente.

Seja L = max(L1,L2,...,Ln).

A função g:(L,+infinito) --> (0,n*Pi/2), definida por:
g(x) = arcsen(L1/x) + arcsen(L2/x) + ... + arcsen(Ln/x)
também será contínua e monótona decrescente (logo, injetiva).
No entanto, g só será sobrejetiva, e portanto uma bijeção, se L1 = L2 = ...
= Ln = L.

Logo, pelo TVI, deverá existir um (único) real positivo R, tal que g(2R) =
m*Pi, onde m = 1 se estivermos interessados em polígonos convexos e 2 <= m <
n/2 caso contrário (repare que como n >= 3, Pi pertence ao contra-domínio de
g).

*****

A 2a. parte decorre do fato de que a definição de g independe da ordem em
que as parcelas arcsen(Lk/x) são somadas.

*****

Repare que se usarmos valores distintos de m, obteremos valores distintos de
R. Por exemplo, tome n = 5 e L1 = L2 = ... = L5 = L.

Nesse caso, teremos g: (L,+infinito) --> (0,5Pi/2)
g(x) = 5*arcsen(L/x)  ==>

m = 1 ==> g(2R) = 5*arcsen(L/(2R)) = Pi ==>
L = 2R*sen(Pi/5) = lado do pentágono regular convexo inscrito

m = 2 ==> g(2R) = 58arcsen(L/(2R)) = 2*Pi ==>
L = 2R*sen(2Pi/5) = lado do pentágono regular estrelado inscrito.

*****

No caso do problema do Eduardo, teremos n = 6, L1 = L2 = L3 = 3 e L4 = L5 =
L6 = 5.

Assim, g:(5,+infinito) --> (0,3Pi) será dada por:
g(x) = 3*(arcsen(3/x) + arcsen(5/x))

m = 1 ==> g(2R) = Pi ==>
arcsen(3/(2R)) + arcsen(5/(2R)) = Pi/3 ==>
( fazendo x = 1/(2R) )
arcsen(5x) = Pi/3 - arcsen(3x) ==>
( tomando senos e usando a identidada p/ o seno da diferença )
5x = (raiz(3)/2)*cos(arcsen(3x)) - (1/2)*sen(arcsen(3x)) ==>
10x = raiz(3)*raiz(1 - (3x)^2) - 3x ==>
(13x)^2 = 3*(1 - (3x)^2) ==>
169x^2 = 3 - 27x^2 ==>
x^2 = 3/196 ==>
x = raiz(3)/14  (lembre-se de que x = 1/(2R) > 0) ==>
R = 1/(2x) = 7/raiz(3) = 7*raiz(3)/3, o que bate com a resposta dop Márcio
(ainda bem!!!)

*****

No entanto, também temos que considerar o caso m = 2 (hexágono não convexo).

Nesse caso, teremos:
g(2R) = 2Pi ==>
arcsen(3/(2R)) + arcsen(5/(2R)) = 2Pi/3 ==>
( fazendo x = 1/(2R) )
arcsen(5x) = 2Pi/3 - arcsen(3x) ==>
( tomando senos e usando a identidada p/ o seno da diferença )
5x = (raiz(3)/2)*cos(arcsen(3x)) + (1/2)*sen(arcsen(3x)) ==>
10x = raiz(3)*raiz(1 - (3x)^2) + 3x ==>
(7x)^2 = 3*(1 - (3x)^2) ==>
49x^2 = 3 - 27x^2 ==>
x^2 = 3/76 ==>
x = raiz(57)/38  (lembre-se de que x = 1/(2R) > 0) ==>
R = 1/(2x) = 19/raiz(57) = raiz(57)/3.

Assim, o problema do Eduardo admite uma segunda solução R = raiz(57)/3, que
corresponde juatamente ao caso em que o hexágono inscrito é não-convexo.

*****

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Marcio" <marciocohen@superig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, June 14, 2003 3:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Geometria Plana


>     Ligue o centro O do círculo aos 6 vértices. Chame de 2x cada angulo
com
> vertice em O que aparece nos triangulos de base 5, e de 2y os angulos em O
> nos triangulos de base 3.
>     Temos 6x+6y = 360  donde x = 60-y.
>     No triangulo de base 5, temos
>         (i)  5 = 2R * sen(x)  (para ver isso, voce pode tracar a altura
> relativa a base nesse triangulo isosceles) e no de base 3, temos:
>         (ii) 3 = 2R * sen(y).
>     Eliminando R dessas equacoes: 5seny = 3 senx
>     Como x = 60-y, senx = sen(60-y) = [sqrt(3)cosy - seny]/2
>     Juntando:
>         10seny = 3sqrt(3)cosy - 3seny,  donde tan(y) = 3sqrt(3)/13 e
> portanto, sen(y) = 3sqrt(3)/14.
>     Essa ultima conclusao, junto com (ii), permite determinar R:
>     3 = 2R * 3sqrt(3)/14, donde R = 7sqrt(3) / 3.
>
>     Obs: Eh legal notar que os lados 3,3,3,5,5,5 podem estar dispostos em
> qualquer ordem que o resultado nao muda.
>
>     Marcio
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Eduardo Quintas da Silva" <edquintas@ig.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, June 14, 2003 8:05 AM
> Subject: [obm-l] Geometria Plana
>
>
> > Um hexágono inscrito num círculo de raio R, tem 3 lados medindo 3 cm e 3
> > lados medindo 5 cm. Calcule R
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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