Re: [obm-l] Poncelet

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jun 13, 2003 at 10:14:55PM -0200, Claudio Buffara wrote:
> Oi, Edmilson (e demais colegas da lista):
> 
> Voce (ou alguem mais) conhece algum artigo que trate do caso geral?
> 
> Me parece incrivel que seja necessario lancar mao de superficies de Riemann
> pra se provar um teorema que, apesar de estar longe de ser trivial, diz
> respeito a circunferencias e poligonos no plano. No mais, eh pouco provavel
> que Poncelet tenha usado superficies de Riemann uma vez que quando ele
> provou o teorema Riemann nem tinha nascido...

Como já disse, nunca li o que Poncelet escreveu sobre o assunto
mas o Carlos Tomei afirma que Poncelet deu uma demonstração sim,
mas bem difícil e definitivamente diferente da geometria "grega".

Já tive uns papos deste tipo "como pode um problema de geometria elementar
não admitir uma solução mais elementar". A melhor coisa que eu tenho
a dizer é que este enunciado envolve um quantificador sobre números
naturais ("para todo n") ao invés de apenas quantificadores sobre
pontos ou retas, como é o usual em problemas de geometria "grega"
ou "tipo IMO". Se fixarmos o valor de n o teorema admite demonstração
elementar (nem que seja braçal, por analítica).
 
> Por exemplo, quando as duas circunferencias sao concentricos o resultado
> parece obvio. Todos os poligonos sao regulares ( lado = 2*raiz(R^2-r^2) e
> angulo interno = 2*arcsen(r/R) ) e sao obtidos uns dos outros por meio de
> uma rotacao apropriada.

Sim, isto é de fato bem óbvio.
 
> Serah que nao existe alguma transformacao inversivel tipo homotetia,
> projecao ou algo assim que desloca a circunferencia interna mas mantem o
> todos os vertices do poligono sobre a circunferencia externa e os lados
> ainda tangentes a circunferencia interna?
> 
> Se houver tal transformacao, basta aplicar sua inversa ao poligono-base do
> caso geral, o que farah com que as duas circunferencias fiquem concentricas.
> Depois, roda-se o poligono regular - imagem do poligono-base original pela
> transformacao inversa - de modo que um de seus vertices seja justamente a
> pre-imagem do ponto a partir do qual vai se tracar a poligonal que queremos
> provar ser fechada, e aplica-se a transformacao (direta).
 
De certa forma o que se quer demonstrar é exatamente que existe
uma tal transformação *restrita às curvas*. Duvido que exista
uma transformação da forma como você parece querer.

Transformações projetivas podem levar você a outra configuração,
por exemplo, de duas cônicas quaisquer para dois círculos
(como eu enunciei) ou para duas elipses confocais.
Mas não reduzem o problema ao caso trivial de dois círculos concêntricos.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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