Re: [obm-l] um problema e um teorema

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Seja f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... a_1x + a_0,
onde a_n <> 0 e a_i \in Z, i = 0,1,...,n. Se, para um
primo p qualquer, tem-se

a_nf(0)f(1)...f(p-1) <> 0 (mod p),

ent�o a equa��o f(x)=0 n�o possui raiz racional.

Demonstre.

---- x ----

digamos que o racional irredut�vel a/b seja uma raiz de f
ent�o o polin�mio bx - a divide f, seja f(x) = (bx - a).g(x)

para um primo p que n�o divida b, bx - a � uma fun��o injetiva e portanto,
existe algum elemento de Z/pZ que anula o termo, como o produt�rio � feito
em f para todo elemento de Z/pZ, ent�o um dos termos � necesseriamente 0 e
assim conclu�mos que:

a_nf(0)f(1)...f(p-1) = 0 (mod p).

O caso restante � um primo p que divida b, se p | b, p | a_n tamb�m
(verifique), e portanto a_n = 0 mod p e assim conclu�mos a dem. do teorema.


[ ]'s

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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