Re: [obm-l] um problema e um teorema

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Seja f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... a_1x + a_0,
onde a_n <> 0 e a_i \in Z, i = 0,1,...,n. Se, para um
primo p qualquer, tem-se

a_nf(0)f(1)...f(p-1) <> 0 (mod p),

então a equação f(x)=0 não possui raiz racional.

Demonstre.

---- x ----

digamos que o racional irredutível a/b seja uma raiz de f
então o polinômio bx - a divide f, seja f(x) = (bx - a).g(x)

para um primo p que não divida b, bx - a é uma função injetiva e portanto,
existe algum elemento de Z/pZ que anula o termo, como o produtório é feito
em f para todo elemento de Z/pZ, então um dos termos é necesseriamente 0 e
assim concluímos que:

a_nf(0)f(1)...f(p-1) = 0 (mod p).

O caso restante é um primo p que divida b, se p | b, p | a_n também
(verifique), e portanto a_n = 0 mod p e assim concluímos a dem. do teorema.


[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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