Re: [obm-l] MMC

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Cláudio!

Valeu pelo trabalho, só que fui ver sua resolução e vi
que tinha enviado a pergunta com um erro, não existe a
letra d. Seria assim:

Se {r,s} representa o MMC dos inteiros positivos r e
s, o número de ternos ordenados (a,b,c) de inteiros
positivos para os quais {a, b} = 1000, {b, c} = 2000 e
{c, a} = 2000 é:
a)50    b)70    c)100    d)170    e)200

Quanto à correção que você fez:
> Nao necessariamente. Por exemplo, MMC(2^3*5^3,2*5) =
> 1000 mas 2*5 nao eh
> divisivel nem por 2^3 nem por 5^3.

É isso mesmo, é que eu não coloquei que aquilo é
sempre verdadeiro, a não ser para o caso em que temos
2³ e 5³ no mesmo número.

Bom, se quiser fazer de novo, com o enunciado correto,
não precisa digitar tudo de novo, a idéia já tenho, só
queria que confirmasse a resposta mesmo.

Abraços,

Rafael.

 --- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
escreveu: > Oi, Rafael:
> 
> Eu achei uma solucao diferente mas que tambem nao se
> encaixa em nenhuma
> alternativa. 
> 
> Infelizmente, tambem encontrei um furo no seu
> raciocinio. Veja abaixo.
> 
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> on 09.06.03 18:57, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br
> wrote:
> 
> > 
> Os unicos fatores primos de a, b, c, d sao 2 e 5 ==>
> a = 2^x1 * 5^y1
> b = 2^x2 * 5^y2
> c = 2^x3 * 5^y3
> d = 2^x4 * 5^y4
> 
> MMC(a,b) = 1000 ==> max(x1,x2) = max(y1,y2) = 3
> MMC(b,c) = 2000 ==> max(x2,x3) = 4; max(y2,y3) = 3
> MMC(c,d) = 2000 ==> max(x3,x4) = 4; max(y3,y4) = 3
> 
> x2 <= max(x1,x2) = 3 ==>
> x3 = 4 (ja que max(x2,x3) = 4)
> 
> x2 = 3 ==> 
> x1 pode ser 0, 1, 2 ou 3 ==>
>     Sub-Total = 4*1*1 = 4 triplas (x1,x2,x3)
> 
> x2 = 0, 1 ou 2 ==> 
> x1 = 3 (ja que max(x1,x2) = 3) ==>
>     Sub-Total = 1*3*1 = 3 triplas (x1,x2,x3)
> 
> Resumindo:
> (x1,x2,x3) pode ser (0,3,4), (1,3,4), (2,3,4),
> (3,3,4), (3,0,4), (3,1,4),
> (3,2,4)
> 
> Total: existem 7 triplas (x1,x2,x3)
> 
> *****
> 
> y1 = 0, 1 ou 2 ==> 
> y2 = 3 (ja que max(y1,y2) = 3) ==>
> y3 pode ser 0, 1, 2 ou 3 ==>
>     Sub-Total = 3*1*4 = 12 triplas (y1,y2,y3)
> 
> y1 = 3 ==> 
> y2 pode ser 0, 1, 2 ou 3
>     y2 = 0, 1 ou 2 ==> y3 = 3 (ja que max(y2,y3) =
> 3) ==>
>     Sub-Total = 1*3*1 = 3 triplas (y1,y2,y3)
> 
>     y2 = 3 ==> y3 pode ser 0, 1, 2 ou 3
>     Sub-Total = 1*1*4 = 4 triplas (y1,y2,y3)
> 
> Total: existem 19 triplas (y1,y2,y3)
> 
> *****
> 
> Logo, existem 7*19 = 133 sextuplas
> (x1,x2,x3,y1,y2,y3), ou seja, 133 triplas
> possiveis de inteiros positivos (a,b,c).
> 
>  
> > Oi Pessoal!
> > 
> > Devo estar esquecendo de alguma coisa ou não tem
> > alternativa pra esta questão.
> > 
> > Para dois números terem como MMC o número 1000,
> como:
> > 1000 = 2³.5³
> > 
> > Um dos números tem que ter pelo menos 2³ e o outro
> > pelo menos 5³. 
> 
> Nao necessariamente. Por exemplo, MMC(2^3*5^3,2*5) =
> 1000 mas 2*5 nao eh
> divisivel nem por 2^3 nem por 5^3.
> 
> > Então comecei pelo menor e fui vendo
> > quem podia ser seu par para terem MMC = 1000:
> > 2³ e 5³
> > 2³ e 5³.2
> > 2³ e 5³.2²
> > 2³ e 5³.2³
> > 
> > Depois, continuando a ter como referência o número
> com
> > 2³, podemos ter 2³.5, 2³.5² e por fim 2³.5³ que é
> o
> > próprio 1000:
> > 2³.5 e 5³
> > 2³.5 e 5³.2
> > 2³.5 e 5³.2²
> > 2³.5 e 5³.2³
> > 
> > 2³.5² e 5³
> > 2³.5² e 5³.2
> > 2³.5² e 5³.2²
> > 2³.5² e 5³.2³
> > 
> > Mas se você pegar o 1000, pode pegar todos os seus
> > divisores que o MMC será 1000. 1000 tem 16
> divisores
> > (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200,
> > 250, 500, 1000)
> > 
> > Então formará 16 pares cujo MMC é 1000. Só não
> podemos
> > escquecer que já tínhamos 12 pares cujo MMC dava
> 1000
> > e entre esses apareceram 3 pares onde o 1000 era
> um
> > dos números. Então na verdade não são 16, mas 13
> novos
> > pares, que juntando com os 12 que já existiam
> > totalizam 25.
> > 
> > Para dois números terem MMC igual a 2000, um deles
> tem
> > que ter o fator 2^4 e o outro o fator 5³. Mas como
> > pelo problema, nossos pares têm elementos cujo MMC
> tem
> > que dar 1000 com um número e 2000 com outro, não
> > poderemos colocar nenhum número que tenha 2^4 como
> > fator porque 1000 não é múltiplo de 2^4 então
> nunca
> > seria MMC. Assim, o único divisor de 2000 que
> > poderemos usar é o próprio 2000 porque aí o MMC
> será
> > 2000 quando estiver com ele e ele tem o 2^4. Os
> outros
> > números podem ser quaisquer divisores de 2000 (1,
> 2,
> > 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125,
> 200,
> > 250, 400, 500, 1000, 2000)
> > 
> > Mas como esses números têm que ter MMC igual a
> 1000,
> > só poderão entrar os divisores e 1000. Ou seja, os
> 3
> > números a, b e c só poderão ser formados pelo 2000
> e
> > mais um daqueles pares que vimos que têm MMC =
> 1000.
> > 
> > Já vimos que são 25 pares, mas temos que contar as
> > permutações porque o problema falou em pares
> > ordenados. Então são 6 permutações para cada
> conjunto
> > de 3 números. A não ser o conjunto {1000, 1000,
> 2000}
> > que tem só 3 permutações:
> > = 24.6 + 3
> > = 144 + 3
> > = 147 ternos ordenados.
> > 
> > O que foi que esqueci???
> > 
> > Abraços,
> > 
> > Rafael.

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