[obm-l] Re: [obm-l] Por que derivar é mais fácil que integrar?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Jun 11, 2003 at 02:17:08PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
> Caros colegas da lista:
> 
> Imagino que a dúvida do Carlos seja "que mudanças de váriáveis e
> manipulações algébricas devem ser feitas para se achar uma anti-derivada de
> f(x) = sen(x)/(1+x)?"
> 
> O caso dssa função, e de várias outras, cujas primitivas não podem ser
> expressas como combinações de funções elementares, me levam a seguinte
> dúvida: Por que achar a derivada de uma dada função é quase sempre mais
> fácil do que se achar uma primitiva dessa mesma função?
> 
> Em geral, pra derivar uma função basta seguir uma "receita de bolo" e usar
> corretamente as regras da adição, produto, quociente, cadeia, etc. Por outro
> lado, para integrar funções relativamente simples temos que lançar mão de
> integração por partes, substituições trigonométricas, frações parciais, etc.
> e, em muitos casos (p.ex. f(x) = e^(x^2) ou g(x) = 1/ln(x)) nem isso
> funciona.
> 
> Gostaria muito de ver uma explicação, mesmo que filosófica, sobre este
> fenômeno.

Não sei se tenho explicação filosófica mas tenho um comentário.
Há um conceito de função elementar; grosso modo, são as funções
para as quais o aluno de cálculo 1 tem uma "fórmula".
Há um algoritmo bem simples para derivar funções elementares
e este algoritmo é aprendido por todo aluno de cálculo 1.

Há um outro algoritmo, que *não* é ensinado em cálculo 1,
para, dada uma função elementar f, decidir se existe outra função
elementar g com g' = f; se existir o algoritmo encontra g,
se não existir o algoritmo demonstra este fato.
Pq este algoritmo não é ensinado/aprendido em cálculo I?
Em parte pq ele é complicado (difícil de ensinar aos alunos);
em parte pq ele é lento (mesmo que os alunos aprendessem,
não iam ter tempo de aplicar o algoritmo na hora da prova).
Programas como maple e mathematica *aplicam* este algoritmo.
Tente

> int((cos(x))^(-5),x);

no maple e ele responde:

                  sin(x)        sin(x)
              1/4 ------- + 3/8 ------- + 3/8 ln(sec(x) + tan(x))
                        4             2
                  cos(x)        cos(x)


mas tente

> int(cos(x^3),x);

e depois de um tempinho ele responde

               /     2/3       6             3
      1/2  1/3 |    2    (2/7 x  + 2/3) sin(x )
1/6 Pi    2    |9/2 ---------------------------
               |               1/2  2
               \             Pi    x

          2/3       3   3        3
         2    (cos(x ) x  - sin(x ))
     + 3 ---------------------------
                    1/2  2
                  Pi    x

            7  2/3      3                       3
           x  2    sin(x ) LommelS1(11/6, 3/2, x )
     - 9/7 ---------------------------------------
                         1/2   3 11/6
                       Pi    (x )

          7  2/3       3   3        3                       3 \
         x  2    (cos(x ) x  - sin(x )) LommelS1(5/6, 1/2, x )|
     - 3 -----------------------------------------------------|
                              1/2   3 17/6                    |
                            Pi    (x )                        /


Você pode não conhecer a função LommelS1 mas o fato é que esta coisa
não é elementar. E se você tentar

> int((x^2 + 1)/sqrt(x^8 + x^2 + 1),x);

ele dá a resposta tautológica

                              /       2
                             |       x  + 1
                             |  ---------------- dx
                             |    8    2     1/2
                            /   (x  + x  + 1)



ou seja, esta coisa não só não é elementar mas nem pode ser escrita
com as outras funções mais difíceis mas que têm nomes que o maple conhece.

[]s, N.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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