Re: [obm-l] Provas...

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

1. tome a = PI, b=1, n=1.
2. Essa eh uma demonstracao que eu vi ha um tempo, nao lembro em qual livro
(acho que mais de um):

Note que dado um polinomio p(x), sempre se tem, usando integral por partes:
    Int ( p(x)senx ) = -pcos + Int (p'cos)
    Int ( q(x)cosx ) = qsen - Int(q'sen)
Juntando, vem:
    Int (p(x)senx) = -pcos + p'sen - p"cos + p"'sen - ...
    Int (p(x)cosx) = qsen - q'cos + q"sen - q"'cos + ...

    A propriedade de Pi que vc vai usar eh que sen(pi) e cos(pi) sao ambos
inteiros, de modo que se os polinomios p e q e suas derivadas forem inteiros
para x=0 e x=Pi, entao as integrais da esquerda, tomadas de 0 a pi, tmb
devem ser inteiras. A ideia eh buscar um polinomio p que tenha essas
derivadas inteiras mas que seja pequeno o suficiente para que a integral nao
de inteira.
    Suponha entao que Pi = a/b, com a e b inteiros, e olhe para p(x) =
[bx(pi-x)]^n / n!   Veja que:
    n! p(x) = b^n * ( (xpi)^n -^... + (-x)^(2n) )
Comparando com a expressao de Taylor:
    p(x) = p(0) + p'(0) x  + p"(0)x^2 / 2! + p"'(0)x^3/3! + ...
vemos que as n-1 primeiras derivadas de f em 0 sao nulas, e que a k_a
derivada satisfaz  f(k) (0) / k! = b^n * (-pi)^(n-k) / n! para n<=k<=2n.
Portanto, para esses valores de k temos que a k_a derivada tmb eh inteira em
0 (pois k!/n! eh inteiro e b^n * pi^(n-k) = b^k * a^(n-k) eh inteiro).
    Para a contradicao, note que para 0<x<pi, x(pi-x) eh no maximo pi^2/4,
de forma que p(x) <= K^n /n! para K = b * pi^2 / 4. Logo, a integral
satisfaz:
|Int (p(x)senx) | <= Int |p(x)senx| <= Int |K^n / n!| = pi*K^n / n!
    Pronto, aqui esta a contradicao. Para n muito grande, esse valor fica
menor que 1 e portanto nao pode ser inteiro.. (esse fica como um exercicio
extra: Mostrar que para K fixo, K^n / n! tende a zero quando n vai para oo).

    Abraco,
    Marcio

----- Original Message -----
From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, June 10, 2003 9:56 PM
Subject: [obm-l] Provas...


> 1- Provar q (a/b)^n com n pertencente aos naturais,nao eh necessariamente
> racional.
>
> 2- Provar q PI eh irracional.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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