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Em Qui 29 Mai 2003 16:16, Thiago Sobral escreveu:
> Aih vai a 3a entaum..
>
> 3.Seja ABC um triângulo acutângulo tal que o ângulo B
> mede 60º. A circunferência de diâmetro AC intersecta as
> bissetrizes internas de A e C nos pontos M e N
> respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do
> ângulo B intersecta MN e AC nos pontos R e S,
> respectivamente. Demonstrar que BR <= RS.
> [...]Sejam X e Y os pontos onde a reta MN encontra BA e BC(resp.).Seja a=MAC e g=NAC.Seja I o incentro de ABC.As bissetrizes sao AR,BS e CT.
Por bissetrizes a gente acha alguns angulos:BAC=2a,BCA=2g.E ja que o outro angulo e 60,ve-se que a+g=60.E com isso NIC=60°.Como AC e diametro ANC=90°.Assim ICN=30 e NCY=30-g,assim MNA=g e CYN=60,logo BR e perpendicular a XY
A desigualdade proposta inicialmente e meio feia.Vamos melhorar:BR<=RS e o mesmo que 2BR<=BS.Esses caras sao mais faceis de achar que os outros.Esse sera nosso plano.
BR/BY=cos 30.Vamos calcular CY para ajudar,pois BY=BC-CY
CY/sen(90+g)=CN/sen60 ou CY=CN*cos g/cos 30.
CN/CA=sen a,CN=CA*sen a.
CY=CA*sen a*cos g/cos 30
BC/sen 2a=CA/sen 60,BC=CA*sen 2a/sen 60
BY=CA* 2*sen a*cos a/cos 30-CA*sen a*cos g/cos 30
BY=sen a*CA/sen 60(2*cos a-cos g)=sen a*CA/sen 60*2*sen 60*sen g=2*CA*sen a*sen g
BR=BY*sen 60=2*CA*sen 60*sen a*cos (30+a).
Vamos calcular BS:
BS/sen 2a=BA/sen (30+2a),e
BS=BA*sen 2a/sen(30+2a).E BA=CA*sen(60+2a)/sen 60.
BS=CA*sen (60+2a)*sen 2a/sen(30+2a)*sen 60
Queremos que
2*2*sen 60*sen a*cos(30+a)<=sen(60+a)*sen 2a/sen60*sen(30+2a).
3 sen a cos(30+a) cos(60-2a)<=sen(60+a) sen 2a
6 sen(30+2a) cos(30+a)<=4 sen(60+a) cos a
3 sen(60+3a)+3 sen a<=2 sen (60+2a)+2 sen 60
Agora e so abrir e correr pro abraço!