RE: [obm-l] problema de Topologia

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Eh exatamente isto!
Alem das conclusoes que vc citou, hah duas outras interessantes, validas
em espacos metricos e em espacos toplogicos metrizaveis:

Se X eh um espaco metrico, A eh um subconjunto de X,  Y eh um espaco
metrico completo e f:A=>X eh uniformemente continua, entao f tem uma
unica extensao uniformemente continua para cl A. 

Se f eh continua em A e apresenta limite nos pontos de acumulacao de A,
entao f tem uma unica extensao continua para cl A. Neste caso, Y nao
precisa ser completo.  
Um abraco
Artur 

>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
>rio.br] On Behalf Of Carlos César de Araújo
>Sent: Saturday, May 31, 2003 3:04 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] problema de Topologia
>
>> Acho este problema bonito
>> Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff
e f
>> e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) =
g(x)}
>> eh um subconjunto fechado de X.
>
>Vejamos se o complementar X-E é, de fato, aberto. Para isto, dado v em
X-E,
>devemos obter um X-aberto V tal que
>
>(*) v está em V e V contido em X-E.
>
>Ora, como v está em X-E, temos f(v)<>g(v). Como Y é de Hausdorff, os
pontos
>distintos f(v) e g(v) podem ser SEPARADOS por certos Y-abertos A e B;
isto
>é, temos
>
>(*) f(v) em A, g(v) em B, A disjunto de B,
>
>ou ainda (em termos de imagens inversas)
>
>(*) v em f^(-1)(A), v em g^(-1)(B), A disjunto de B.
>
>Como f e g são CONTÍNUAS, segue-se que a interseção
>
>V = f^(-1)(A) inter g^(-1)(B)
>
>é um X-aberto contendo v. Resta verificar que V está contido em X-E.
Ora,
>como A é disjunto de B, temos
>
>x em V ==> f(x) em A e g(x) em B ==> f(x) não está em B ==> f(x)<>g(x)
==>
>x
>não está em E.
>
>Era o que cumpria provar.
>
>OBSERVAÇÃO. Com as hipóteses acima, somos naturalmente levados a este
>resultado quando tentamos provar que toda função contínua f: A->Y
admite NO
>MÁXIMO uma extensão contínua ao fecho cl(A). (Alternativamente: se duas
>funções contínuas de X em Y coincidem num subconjunto denso de X, então
>elas
>coincidem em toda parte.)
>
>Carlos César de Araújo
>Matemática para Gregos & Troianos
>www.gregosetroianos.mat.br
>Belo Horizonte, MG
>
>=======================================================================
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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