[obm-l] Equações do 2o. grau com raiz comum

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Luís Guilherme Uhlig" <lgu@uhlig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 25, 2003 12:07 PM
Subject: [obm-l] duvidas


> ....
> Uma de equação de 2º grau:
> Determine a condição para que as equações:
> ax^2 +bx +c =0 e a'x^2 +b'x +c' = 0
> tenham uma raiz comum.
> ....

Oi, Luís:

Ficou faltando essa da sua lista.

Antes de mais nada, vamos supor que as duas equações acima são, de fato, do
2o. grau, ou seja, que a*a' <> 0.
Dividindo as equações por a e a' respectivamente (a fim de, entre outras
coisas, facilitar as contas no final), caíremos em:
f(x) = 0   e   g(x) = 0
onde:
f(x) = x^2 + mx + n     e     g(x) = x^2 + px + q
m = b/a,  n = c/a,  p = b'/a',  q = c'/a'

Se r é a raiz comum, podemos escrever os dois polinômios como:
f(x) = (x - r)(x - u)   e   g(x) = (x - r)(x - v)

Assim, teremos:
(x - v)f(x) = (x - r)(x - u)(x - v)
e
(x - u)g(x) = (x - r)(x - u)(x - v)

Ou seja:
(x - v)f(x) = (x - u)g(x) ==>

(x - v)(x^2 + mx + n) = (x - u)(x^2 + px + q) ==>

x^3 + (m - v)x^2 + (n - mv)x - nv =
x^3 + (p - u)x^2 + (q - pu)x - qu

Igualando coeficientes, teremos::
m - v = p - u
n - mv = q - pu
nv = qu

Da primeira equação vem:
v = u + m - p

Substituindo esta expressão para v nas outras duas teremos:
pu = mv + q - n  ==>
pu = mu + m(m - p) + q - n ==>
(p - m)u =  m(m - p) + (q - n)  (*)
e
qu = nv ==>
qu = nu + n(m - p) ==>
(q - n)u = n(m - p)  (**)

Multiplicando (*) por (q - n) e (**) por (p - m), teremos:
(p - m)(q - n)u = m(m - p)(q - n) + (q - n)^2
e
(p - m)(q - n)u = -n(m - p)^2

Ou seja, (p - m)(q - n)u = m(m - p)(q - n) + (q - n)^2 = -n(m - p)^2 ==>

m(m - p)(q - n) + (q - n)^2 + n(m - p)^2 = 0 ==>

(q - n)^2 + (m - p)(mq - mn + mn - np) = 0 ==>

(q - n)^2 + (m - p)(mq - np) = 0

Como todas as passagens são reversíveis, podemos concluir que:
x^2 + mx + n = 0   e   x^2 + px + q = 0  tem uma raiz comum
se e somente se
(q - n)^2 + (m - p)(mq - np) = 0

Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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